Задачи › Наклонная плоскость

Пружинные системы и наклонная плоскость

  1. Пружинные системы и наклонная плоскость

    СПбГУ 2024/25, 10 кл.
    5/10

    Вариант 1.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для 1 и 4 пружин и \(k = 100\) Н/м для 2 и 3 пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 2. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 2 и 3 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.

    Рисунок

    Вариант 1.2. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 400\) Н/м для 1 и 4 пружин и \(k = 200\) Н/м для 2 и 3 пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 3. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 2 и 3 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.

    Рисунок

    Вариант 2.1. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 2\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 300\) Н/м для 3 пружины и \(k = 100\) Н/м для всех других пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 4. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости.

    Рисунок

    Вариант 2.2. На гладкой наклонной плоскости расположен брусок массой \(m = 1\) кг, прикреплённый к конструкции пружин (см. рисунок), состоящей из пружин с жёсткостями \(k' = 400\) Н/м для 3 пружины и \(k = 200\) Н/м для всех других пружин. Найти удлинение пружины под цифрой 3. Угол наклона плоскости \(\alpha = 30^\circ\). Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\). Все пружины растягиваются параллельно поверхности наклонной плоскости. Пружины 1, 2, 4 и 5 в свободном состоянии имеют одинаковую длину.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сила упругости всей системы уравновешивает \(mg\sin\alpha\). Общая жёсткость системы получается из параллельного и последовательного соединения пружин; растяжение пружины, которую спрашивают, находится через растяжение всей системы.

    Ответ

    Вариант 1.1: \(x = 0{,}05\) м.  Вариант 1.2: \(x = 0{,}0125\) м.  Вариант 2.1: \(x = 0{,}05\) м.  Вариант 2.2: \(x = 0{,}0125\) м.

    Решение

    Вариант 1.1. По второму закону Ньютона вдоль плоскости \(F_{\text{упр}} = mg\sin\alpha\), поэтому общее растяжение \(x_{\text{общ}} = \dfrac{mg\sin\alpha}{k_{\text{общ}}}\). Пружины 2 и 3 соединены параллельно (жёсткость \(k_{23} = 2k\)), эта группа последовательно соединена с пружинами 1 и 4. Итоговое растяжение пружины 2 получается \[x = \frac{mg\sin\alpha}{2k} = \frac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 100} = 0{,}05~\text{м}.\]

    Вариант 1.2. По той же схеме: \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = \dfrac{1\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 200} = 0{,}0125\) м.

    Вариант 2.1. Пружины 1 и 2, а также 4 и 5 соединены параллельно попарно (\(k_{12} = k_{45} = 2k\)), эти группы соединены последовательно с пружиной 3 (жёсткость \(k'\)). По той же логике \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = 0{,}05\) м.

    Вариант 2.2. \(x = \dfrac{mg\sin\alpha}{2k} = \dfrac{1\cdot 10\cdot 0{,}5}{2\cdot 200} = 0{,}0125\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх