Бусинка на кольце

Поскольку в начальный момент времени кольцо покоится, то начальная скорость бусинки направлена по касательной к кольцу. Направим ось \(X\) системы координат лабораторной системы отсчёта \(S\) вдоль скорости бусинки \(v\), а ось \(Y\) этой системы координат проведём через бусинку и центр кольца. Перейдём в систему отсчёта \(S'\), связанную с центром масс кольца и бусинки, и договоримся, что оси \(X'Y'\) сонаправлены с осями \(XY\). Эта система отсчёта движется относительно системы \(S\) со скоростью \(u = \dfrac{mv}{m + M}\). В системе отсчёта, связанной с центром масс, бусинка и центр кольца совершают равномерное вращение по окружностям, центры которых совпадают с центром масс. При этом в начальный момент времени проекции скорости бусинки на оси \(X'\) и \(Y'\) равны соответственно \[v_{X'}(0) = v - u = v - \dfrac{mv}{m + M} = \dfrac{Mv}{m + M}\quad\text{и}\quad v_{Y'}(0) = 0.\] Значит, проекции скорости бусинки на оси \(X'\) и \(Y'\) зависят от времени \(t\) следующим образом: \[v_{X'} = \dfrac{Mv}{m + M}\cos\omega t,\quad v_{Y'} = \dfrac{Mv}{m + M}\sin\omega t,\] где \(\omega\) — некоторая частота.

Возвращаясь в систему отсчёта \(S\), получим проекции скорости бусинки на оси \(X\) и \(Y\): \[v_X = \dfrac{Mv}{m + M}\cos\omega t + \dfrac{mv}{m + M},\quad v_Y = \dfrac{Mv}{m + M}\sin\omega t.\] Кинетическая энергия бусинки равна \[W = \dfrac{m}{2}\left(v_X^2 + v_Y^2\right) = \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{M^2v^2}{(m + M)^2}\cos^2\omega t + \dfrac{2mMv^2}{(m + M)^2}\cos\omega t + \dfrac{m^2v^2}{(m + M)^2} + \dfrac{M^2v^2}{(m + M)^2}\sin^2\omega t\right) =\] \[= \dfrac{mv^2}{2(m + M)^2}\left(M^2 + m^2 + 2mM\cos\omega t\right).\] Она становится минимальной в тот момент времени, когда косинус принимает значение \(-1\). Следовательно, \[W_{\min} = \dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{M - m}{M + m}\right)^2.\]