Возраст урана

Обозначим количество атомов каждого изотопа непосредственно после взрыва сверхновой через \(N_0\). Тогда через время \(T_1\) после взрыва количество атомов \(^{235}\)U стало равно \(N_0/2\), через время \(2T_1\) — стало равно \(N_0/2^2\), и так далее. Очевидно, что через время \(t = nT_1\) после взрыва, равное \(n\) периодам полураспада \(^{235}\)U, количество атомов этого изотопа стало равно \(N_1 = N_0/2^n\). Аналогично, за то же самое время \(t = kT_2\), равное \(k\) периодам полураспада \(^{238}\)U, количество атомов данного изотопа стало равно \(N_2 = N_0/2^k\). По условию задачи, \[n_1 = \dfrac{N_1}{N_1 + N_2},\quad n_2 = \dfrac{N_2}{N_1 + N_2}.\] Отсюда \[\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{2^n}{2^k} = 2^{n - k}.\] Учитывая, что \(t = nT_1 = kT_2\), получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных \(n\) и \(k\). Решая её, найдём, например, \(k\): \[k = \dfrac{\lg(n_2/n_1)}{\lg 2}\cdot\dfrac{T_1}{T_2 - T_1}.\] Значит, искомое время \(t\) равно \[t = kT_2 = \dfrac{\lg(n_2/n_1)}{\lg 2}\cdot\dfrac{T_1T_2}{T_2 - T_1} \approx 6\cdot 10^9\text{ лет}.\] Этот результат хорошо согласуется с возрастом Солнечной системы (\(\sim 5\) млрд лет) и с возрастом Земли (\(\sim 4\) млрд лет), определёнными другими способами.