Прыгающая частица

Подсказка

Сила \(F_x\) консервативна, как сила тяжести для мячика, прыгающего над полом: вся начальная механическая энергия в итоге уходит на работу силы трения, а остановиться частица может только у стенки.

Решение

a. Ситуацию задачи можно смоделировать, направив ось \(Ox\) вертикально так, чтобы стенка была внизу. Консервативной силой \(F_x\) тогда может быть вес частицы. Движение частицы можно представить как вертикальное движение маленького упругого мячика, упруго ударяющегося о землю и движущегося в среде с постоянной силой трения. Сила трения меньше веса.

Потенциальную энергию частицы можно представить по аналогии с гравитационной потенциальной энергией мячика \(m\cdot g\cdot h\), полагая \(m\cdot g = |F_x|\); \(h = x\). Как хорошо известно, в поле консервативной силы изменение потенциальной энергии зависит только от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути между ними.

В условиях задачи, когда частица движется к стенке, действующая на неё сила направлена к стенке и имеет модуль \[F_{\leftarrow} = |F_x| - F_f,\tag{1.1}\] \[F_{\leftarrow} = 9\text{ Н}.\tag{1.2}\] Следовательно, движение частицы к стенке — движение с постоянным ускорением, модуль которого \[a_{\leftarrow} = \frac{F_{\leftarrow}}{m} = \frac{|F_x| - F_f}{m}.\tag{1.3}\] При этом движении скорость частицы растёт.

Ударившись о стенку, частица начинает двигаться в противоположном направлении со скоростью, по модулю равной скорости до удара.

Когда частица движется от стенки, в положительном направлении оси \(Ox\), действующая сила снова направлена к стенке и имеет модуль \[F_{\rightarrow} = |F_x| + F_f,\tag{1.4}\] \[F_{\rightarrow} = 11\text{ Н}.\tag{1.5}\] Соответственно, движение частицы от стенки замедленное, и модуль ускорения равен \[a_{\rightarrow} = \frac{F_{\rightarrow}}{m} = \frac{|F_x| + F_f}{m}.\tag{1.6}\] При этом движении скорость частицы уменьшается до нуля.

Поскольку во время движения на частицу действует сила, тело не может иметь положения равновесия ни в одной точке оси, за исключением начала координат, где обращается в нуль потенциальная энергия. Окончательно остановиться частица может только в этой точке.

Работа консервативной силы от точки с координатой \(x_0 = 0\) до точки \(x\), \(L_{0\to x}\), связана с изменением потенциальной энергии частицы \(U(x) - U(0)\) так: \[\begin{cases} U(x) - U(0) = -L_{0\to x},\\[2pt] U(x) - U(0) = -\displaystyle\int_0^x \vec F_x\cdot d\vec x = \int_0^x |F_x|\cdot dx = |F_x|\cdot x. \end{cases}\tag{1.7}\] Принимая, что потенциальная энергия частицы равна нулю при \(x = 0\), начальную потенциальную энергию частицы \(U(x_0)\) в поле консервативной силы \[F_x(x) = F_0\tag{1.8}\] можно записать как \[U(x_0) = |F_0|\cdot x_0.\tag{1.9}\] Начальная кинетическая энергия \(E(x_0)\) частицы, по условию, \[E(x_0) = E_c,\tag{1.10}\] и, следовательно, полная энергия частицы \(W(x_0)\) равна \[W(x_0) = U(x_0) + E_c.\tag{1.11}\] Частица останавливается, когда её полная энергия целиком израсходована на работу силы трения. Путь \(D\), пройденный частицей до остановки, удовлетворяет соотношениям \[\begin{cases} W(x_0) = D\cdot F_f,\\ U(x_0) + E_c = D\cdot F_f,\\ |F_x|\cdot x_0 + E_c = D\cdot F_f, \end{cases}\tag{1.12}\] так что \[D = \frac{|F_x|\cdot x_0 + E_c}{F_f}\tag{1.13*}\] и \[D = 20\text{ м}.\tag{1.14*}\] Соотношения (1.13) и (1.14) — ответ на вопрос I.a.

b. Соотношение (1.7), записанное в виде \[U(x) = |F_x|\cdot x,\tag{1.15}\] даёт линейную зависимость потенциальной энергии от положения.

Если бы движение происходило без трения, частица могла бы дойти до точки \(A\) на расстоянии \(\delta\) от начала координат, в которой кинетическая энергия обращается в нуль. В точке \(A\) энергия частицы целиком потенциальная.

Закон сохранения энергии для начальной точки и точки \(A\) даёт \[\begin{cases} E_c + |F_x|\cdot x_0 = |F_x|\cdot\delta,\\[2pt] \delta = x_0 + \dfrac{E_c}{|F_x|}. \end{cases}\tag{1.16}\] Численное значение координаты точки \(A\), наиболее удалённой от начала координат, при движении без трения \[\delta = 2\text{ м}.\] Зависимость потенциальной энергии от положения в области \((0, \delta)\) представлена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2. На рисунке: A.U. — произв. ед.

При реальном движении частицы (с трением) крайние положения, которых достигает частица, меньше \(\delta\) (из-за потери энергии на трение).

График на рисунке 1.2 — ответ на вопрос I.b.

c. При движении частицы её энергия уменьшается из-за работы силы трения. Скорость частицы имеет локальный максимум вблизи стенки. Обозначим \(v_k\) скорость частицы непосредственно перед её \(k\)-м ударом о стенку, а \(v_{k+1}\) — скорость непосредственно перед следующим ударом; тогда \[v_k > v_{k+1}.\] Между двумя последовательными ударами частица достигает положений \(x_k\), в которых её скорость обращается в нуль и энергия частицы чисто потенциальная. Эти положения всё ближе к стенке, так как часть энергии частицы рассеивается трением: \[x_{k+1} < x_k.\tag{1.17}\]

Случай 1

Когда частица движется к стенке, и её скорость, и её кинетическая энергия растут. Потенциальная энергия частицы уменьшается. При движении — независимо от его направления — энергия рассеивается силой трения.

Потенциальная энергия частицы \(U(x)\), кинетическая энергия \(E(x)\) и полная энергия частицы \(W(x)\) на этом участке движения связаны соотношением \[W(x_0) - W(x) = F_f\cdot(x_0 - x),\tag{1.18}\] где положение \(x\) лежит в области \[x\in(0, x_0),\tag{1.19}\] проходимой от \(x_0\) к началу координат. Соотношение (1.18) можно записать как \[\left[E_c + |F_x|\cdot x_0\right] - \left[\frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x\right] = F_f\cdot(x_0 - x),\tag{1.20}\] так что \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + |F_x|\cdot x_0 - |F_x|\cdot x - F_f\cdot(x_0 - x)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - x(|F_x| - F_f)\right], \end{cases}\tag{1.21}\] и, следовательно, \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - x(|F_x| - F_f)\right]}.\tag{1.22}\] Знак минус перед модулем скорости показывает, что частица движется в отрицательном направлении оси координат.

С данными задачи \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}(19 - 9\cdot x),\\[6pt] v = -\sqrt{\dfrac{2}{m}(19 - 9\cdot x)}. \end{cases}\tag{1.23}\] Скорость частицы при первом ударе о стенку \(v_{1\leftarrow}\) можно записать как \[v_{1\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}\tag{1.24}\] и имеет значение \[v_{1\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}19}.\tag{1.25}\] Полная энергия у стенки, чисто кинетическая, \(E_{1\leftarrow}\), выражается как \[E_{1\leftarrow} = E_c + x_0(|F_x| - F_f).\tag{1.26}\] Численное значение этой энергии \[E_{1\leftarrow} = 19\text{ Дж}.\tag{1.27}\] График на рисунке 1.3 даёт зависимость квадрата скорости от положения для первой части движения частицы.

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4. На рисунке: a.u. — произв. ед., m — м.

График на рисунке 1.4 представляет зависимость скорости от положения на этой первой части движения частицы (к стенке).

После удара о стенку скорость частицы \(v_{1\rightarrow}\) имеет тот же модуль, что и скорость непосредственно перед ударом, но направлена противоположно. На графике зависимости скорости от положения удар о стенку изображается скачком скорости из точки на отрицательной части оси скоростей в точку на положительной части оси скоростей. Модуль скорости непосредственно до и сразу после удара одинаков, как показано на рисунке 1.5: \[v_{1\rightarrow} = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}.\tag{1.28}\] После первого удара частица движется замедленно с постоянным замедлением \(a_{\rightarrow}\) и начальной скоростью \(v_{1\rightarrow}\).

Это движение продолжается до положения \(x_1\), где скорость обращается в нуль.

Из закона Галилея можно заключить, что \[\begin{cases} 0 = v_{1\rightarrow}^2 - 2\cdot a_{\rightarrow}\cdot x_1,\\[4pt] x_1 = \dfrac{v_{1\rightarrow}^2}{2\cdot a_{\rightarrow}} = \dfrac{\dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{2\cdot\dfrac{|F_x| + F_f}{m}} = \dfrac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f}. \end{cases}\tag{1.29}\]

Численное значение положения \(x_1\): \[x_1 = \frac{19}{11}\text{ м}.\tag{1.30}\] Для положений \[x\in(0, x_1),\tag{1.31}\] проходимых от начала координат к \(x_1\), полная энергия \(W(x)\) выражается как \[W(x) = \frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x.\tag{1.32}\] При удалении от стенки энергия частицы уменьшается из-за трения, т. е. \[\begin{cases} E_{1\leftarrow} - W(x) = F_f\cdot x,\\[2pt] E_c + x_0(|F_x| - F_f) - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot x. \end{cases}\tag{1.33}\] Квадрат модуля скорости равен \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - (|F_x| + F_f)\cdot x\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}(|F_x| + F_f)\cdot(x_1 - x), \end{cases}\tag{1.34}\] а скорость \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f) - (|F_x| + F_f)\cdot x\right]}.\tag{1.35}\] С данными задачи получаем \[v^2 = \frac{2}{m}\left[19 - 11\cdot x\right]\tag{1.36}\] и соответственно \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[19 - 11\cdot x\right]}.\tag{1.37}\] Для положений в области \(x\in(0, x_1)\) (соответствующих второй части движения частицы) зависимость скорости от положения дана на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5. На рисунке: a.u. — произв. ед., m — м.

Как видно на рисунке, достигнув самого удалённого положения \(x_1\), частица движется к началу координат без начальной скорости, ускоренно, с ускорением, модуль которого \(a_{\leftarrow} = (|F_x| - F_f)/m\). После удара о стенку скорость частицы равна по модулю и противоположна по направлению той, которую она имела непосредственно перед ударом.

Когда частица, двигаясь от \(x_1\) к началу координат, достигает точки области \((0, x_1)\), её полная энергия \(W(x)\) выражается формулой (1.32).

Начиная от \(x_1\), из-за диссипации, обусловленной силой трения, энергия изменяется до значения, соответствующего положению с координатой \(x\): \[\begin{cases} |F_x|\cdot x_1 - W(x) = F_f\cdot(x_1 - x),\\[2pt] |F_x|\cdot x_1 - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot(x_1 - x). \end{cases}\tag{1.38}\] Квадрат скорости выражается как \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1 - x)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[\dfrac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f} - x\right]\cdot(|F_x| - F_f), \end{cases}\tag{1.39}\] а скорость \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f} - x\right]\cdot(|F_x| - F_f)}.\tag{1.40}\] С данными задачи для положения в области \((0, x_1)\) \[v^2 = \frac{2}{m}\left[\frac{19}{11} - x\right]\cdot 9,\tag{1.41}\] соответственно \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{19}{11} - x\right]\cdot 9}.\tag{1.42}\]

Скорость частицы, когда она второй раз достигает стенки, с учётом (1.39) выражается как \[v_{2\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\left\{\frac{\left[E_c + x_0(|F_x| - F_f)\right]}{|F_x| + F_f}\cdot(|F_x| - F_f)\right\}}.\tag{1.43}\] Численное значение: \[v_{2\leftarrow} = -\sqrt{\frac{2}{m}\,\frac{171}{11}}.\tag{1.44}\] Итак, после первого удара и первого отскока частица удаляется от стенки, снова достигает положения, где скорость обращается в нуль, и затем возвращается к стенке. Скорость частицы при новом ударе о стенку меньше, чем раньше, — как на рисунке 1.5.

Как было обозначено выше, \(v_k\) — скорость частицы непосредственно перед её \(k\)-м пробегом, а \(x_k\) — координата самой удалённой точки, достигнутой во время \(k\)-го пробега.

Энергия частицы, стартующей от стенки, равна \[E_k = \frac{v_k^2\cdot m}{2} = W_k(0).\tag{1.45}\] В точке \(x_k\), самой удалённой от начала координат после \(k\)-го удара, энергия удовлетворяет соотношению \[U_k = x_k\cdot|F_x| = W_k(x_k).\tag{1.46}\] Изменение энергии между начальной точкой и точкой \(x_k\): \[\frac{v_k^2\cdot m}{2} - x_k\cdot|F_x| = F_f\cdot x_k,\tag{1.47}\] так что \[x_k = \frac{v_k^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.48}\] Когда частица достигает точки \(x_k\), направление скорости меняется, и, когда частица снова достигает стенки, \[\frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2} = E_{k+1} = W_{k+1}(0).\tag{1.49}\] Закон сохранения энергии для точки \(x_k\) и состояния, когда частица снова достигает стенки, даёт \[x_k\cdot|F_x| - \frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2} = F_f\cdot x_k,\tag{1.50}\] так что \[v_{k+1}^2 = \frac{2}{m}x_k(|F_x| - F_f).\tag{1.51}\] С учётом (1.48) соотношение (1.51) принимает вид \[v_{k+1}^2 = v_k^2\cdot\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}.\tag{1.52}\]

Между двумя последовательными ударами скорость уменьшается в геометрической прогрессии со знаменателем \(q\). Этот знаменатель выражается как \[q = \sqrt{\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}}\tag{1.53}\] и равен \[q = \sqrt{\frac{9}{11}}.\tag{1.54}\] Для \((k+1)\)-го удара соотношение (1.48) принимает вид \[x_{k+1} = \frac{v_{k+1}^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.55}\] С учётом (1.52) отношение последовательных крайних положений можно записать как \[\begin{cases} \dfrac{x_{k+1}}{x_k} = \dfrac{|F_x| - F_f}{|F_x| + F_f} = q^2,\\[6pt] x_{k+1} = q^2\cdot x_k. \end{cases}\tag{1.56}\] Для \(k\)-го пробега к началу координат (аналогично (1.39)) зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\leftarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\leftarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_k - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\leftarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1\cdot q^{2k} - x)\right], \end{cases}\tag{1.57}\] или, с данными задачи, \[v_{(k,\leftarrow)}^2 = \frac{2}{m}\left[9\cdot\left(\frac{19}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.58}\] Для \(k\)-го пробега от начала координат (аналогично (1.34)) зависимость квадрата модуля скорости \(v_{(k,\rightarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\rightarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_k - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\rightarrow)}^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_1\cdot q^{2k} - x)\right]. \end{cases}\tag{1.59}\] С данными задачи \[v_{(k,\rightarrow)}^2 = \frac{2}{m}\left[11\cdot\left(\frac{19}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.60}\] Изменение квадрата скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

А изменение скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7. На рисунке: m — м.

Сумма прогрессии, заданной в (1.56), даёт половину пути, пройденного частицей после первого удара: \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = x_1\frac{1}{1 - q^2}.\tag{1.61}\] С учётом (1.53) и (1.29) \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = \frac{E_c + x_0\cdot(|F_x| - F_f)}{2\cdot F_f}.\tag{1.62}\] Численно \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k = \frac{19}{2}\text{ м}.\tag{1.63}\] Полный пройденный путь равен \[\begin{cases} D = 2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}x_k + x_0,\\ D = 20\text{ м}, \end{cases}\tag{1.64}\] что совпадает с (1.14).

Случай 2

Если частица стартует из положения \(x_0\), двигаясь в положительном направлении оси \(Ox\), её скорость и кинетическая энергия уменьшаются, а потенциальная энергия растёт до максимума в положении \(x_1'\), где скорость обращается в нуль. При этом движении энергия рассеивается из-за трения.

Полная энергия \(W(x)\) для положений \(x\) между \(x_0\) и \(x_1'\) удовлетворяет соотношению \[W(x_0) - W(x) = F_f\cdot(x - x_0),\tag{1.65}\] где положение \(x\) лежит в области \[x\in(x_0, x_1'),\tag{1.66}\] когда частица движется от \(x_0\) в положительном направлении оси. Соотношение (1.65) принимает вид \[\left[E_c + |F_x|\cdot x_0\right] - \left[\frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x\right] = F_f\cdot(x - x_0),\tag{1.67}\] так что \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + |F_x|\cdot x_0 - |F_x|\cdot x - F_f\cdot(x - x_0)\right],\\[6pt] v^2 = \dfrac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| + F_f) - x(|F_x| + F_f)\right] \end{cases}\tag{1.68}\] и \[v = \sqrt{\frac{2}{m}\left[E_c + x_0(|F_x| + F_f) - x(|F_x| + F_f)\right]}.\tag{1.69}\] С данными задачи \[\begin{cases} v^2 = \dfrac{2}{m}(21 - 11\cdot x),\\[6pt] v = \sqrt{\dfrac{2}{m}(21 - 11\cdot x)}. \end{cases}\tag{1.70}\]

Рисунок 1.8. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

Рисунок 1.9. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

График на рисунке 1.8 представляет зависимость квадрата скорости от положения для движения в области \(x\in(x_0, x_1')\). Частица движется в положительном направлении оси координат \(Ox\). Это движение продолжается до положения \(x_1'\), в котором скорость обращается в нуль. Из соотношения (1.68), в котором полагаем модуль скорости равным нулю, получаем \[x_1' = x_0 + \frac{E_c}{|F_x| + F_f};\tag{1.71}\] численное значение \(x_1'\): \[x_1' = \frac{21}{11}\text{ м}.\tag{1.72}\] Достигнув самого удалённого положения \(x_1'\), частица снова движется к началу координат без начальной скорости, ускоренно, с ускорением, модуль которого \(a_{\leftarrow} = (|F_x| - F_f)/m\). После удара о стенку частица имеет скорость \(v_{1\rightarrow}'\), равную по модулю и противоположную по направлению скорости \(v_{1\leftarrow}'\), которую она имела перед ударом.

Когда частица находится в точке области \((0, x_1')\), двигаясь от \(x_1'\) к началу координат, её полная энергия \(W(x)\) выражается как \[W(x) = \frac{m\cdot v^2}{2} + |F_x|\cdot x.\tag{1.73}\] Из-за трения значение энергии уменьшается от того, которое она имела в \(x_1'\), до соответствующего положению \(x\): \[\begin{cases} |F_x|\cdot x_1' - W(x) = F_f\cdot(x_1' - x),\\[2pt] |F_x|\cdot x_1' - \dfrac{m\cdot v^2}{2} - |F_x|\cdot x = F_f\cdot(x_1' - x). \end{cases}\tag{1.74}\] Квадрат скорости выражается как \[v^2 = \frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1' - x)\right],\tag{1.75}\] а скорость \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1' - x)\right]}.\tag{1.76}\] С данными задачи в области \((0, x_1')\) \[v^2 = \frac{2}{m}\left[\frac{21}{11} - x\right]\cdot 9,\tag{1.77}\] соответственно \[v = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[\frac{21}{11} - x\right]\cdot 9}.\tag{1.78}\] Скорость частицы, ударяющейся о стенку второй раз, согласно (1.78), \[v_{1\leftarrow}' = -\sqrt{\frac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot x_1'\right]}\tag{1.79}\] и имеет значение \[v_{1\leftarrow}' = -\sqrt{\frac{2}{m}\,\frac{189}{11}}.\tag{1.80}\] Итак, после первого удара и первого отскока частица удаляется от стенки, снова достигает положения, где скорость обращается в нуль, и затем возвращается к стенке. Скорость частицы при новом ударе о стенку меньше, чем раньше, — как на рисунке 1.11.

Обозначим \(v_k'\) скорость в начале \(k\)-го пробега и \(x_k'\) — координату самой удалённой точки во время \(k\)-го пробега; энергия частицы, покидающей стенку, равна \[E_k' = \frac{v_k'^2\cdot m}{2} = W_k'(0).\tag{1.81}\] В положении \(x_k'\) после \(k\)-го отхода от стенки энергия равна \[U_k' = x_k'\cdot|F_x| = W_k'(x_k').\tag{1.82}\] Изменение полной энергии выражается как \[\frac{v_k'^2\cdot m}{2} - x_k'\cdot|F_x| = F_f\cdot x_k',\tag{1.83}\] так что \[x_k' = \frac{v_k'^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.84}\] Когда частица достигает положения \(x_k'\), направление скорости меняется, и, когда частица ударяется о стенку, \[\frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2} = E_{k+1}' = W_{k+1}'(0).\tag{1.85}\] Закон сохранения энергии для положения \(x_k'\) и точки, в которой частица ударяется о стенку, даёт \[x_k'\cdot|F_x| - \frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2} = F_f\cdot x_k',\tag{1.86}\] так что \[v_{k+1}'^2 = \frac{2}{m}x_k'(|F_x| - F_f).\tag{1.87}\] С учётом (1.84) соотношение (1.87) принимает вид \[v_{k+1}'^2 = v_k'^2\cdot\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}.\tag{1.88}\] Между двумя последовательными ударами скорость уменьшается в геометрической прогрессии со знаменателем \(q\): \[q = \sqrt{\frac{|F_x| - F}{|F_x| + F}}.\tag{1.89}\] С данными задачи \[q = \sqrt{\frac{9}{11}}.\tag{1.90}\] Для \((k+1)\)-го удара соотношение (1.84) записывается как \[x_{k+1}' = \frac{v_{k+1}'^2\cdot m}{2\cdot(|F_x| + F_f)}.\tag{1.91}\] С учётом (1.84) и (1.91) отношение крайних положений в двух последовательных пробегах равно \[\begin{cases} \dfrac{x_{k+1}'}{x_k'} = \dfrac{|F_x| - F_f}{|F_x| + F_f} = q^2,\\[6pt] x_{k+1}' = q^2\cdot x_k'. \end{cases}\tag{1.92}\] Для \(k\)-го пробега к началу координат, аналогично (1.57), зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\leftarrow)}'^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_k' - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| - F_f)\cdot(x_1'\cdot q^{2k} - x)\right], \end{cases}\tag{1.93}\] или, с данными задачи, \[v_{(k,\leftarrow)}'^2 = \frac{2}{m}\left[9\cdot\left(\frac{21}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.94}\] Для \(k\)-го пробега от начала координат, аналогично (1.59), зависимость квадрата скорости \(v_{(k,\rightarrow)}^2\) от положения можно записать как \[\begin{cases} v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_k' - x)\right],\\[6pt] v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \dfrac{2}{m}\left[(|F_x| + F_f)\cdot(x_1'\cdot q^{2k} - x)\right]. \end{cases}\tag{1.95}\] С данными задачи \[v_{(k,\rightarrow)}'^2 = \frac{2}{m}\left[11\cdot\left(\frac{21}{11}\cdot\left(\frac{9}{11}\right)^k - x\right)\right].\tag{1.96}\] Изменение квадрата скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

А изменение скорости в зависимости от положения представлено на рисунке 1.11.

Рисунок 1.11. На рисунке: a.u — произв. ед., m — м.

Сумма геометрической прогрессии (1.92) даёт (после удвоения и вычитания \(x_0\)) полный путь, пройденный частицей: \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k' = x_1'\frac{1}{1 - q^2}.\tag{1.97}\] С учётом (1.97), (1.71) и (1.72) получаем \[\sum_{k=1}^{\infty}x_k' = \frac{21}{2}\text{ м}.\tag{1.98}\] Полный путь, пройденный частицей, равен \[\begin{cases} D = 2\cdot\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}x_k' - x_0,\\ D = 20\text{ м}, \end{cases}\tag{1.99}\] что снова даёт результат (1.14).

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).