Комптоновское рассеяние

Подсказка

Если «прокрутить» второе рассеяние назад во времени, получится первое: движущийся электрон отдаёт энергию фотону и останавливается. Формула Комптона для обоих рассеяний под одним и тем же углом связывает \(\lambda_i\), \(\lambda_0\) и \(\lambda_f\).

Решение

Цель задачи — вычислить скорость, импульс и длину волны первого электрона.

Для характеристики фотонов используются следующие обозначения:

Таблица 4.1

Для характеристики электронов используются

Таблица 4.2

На рисунке 4.1 показана ситуация до первого рассеяния фотона.

Рисунок 4.1. На рисунке: initial photon — начальный фотон, first electron — первый электрон.

Рисунок 4.2. На рисунке: scattered photon — рассеянный фотон, electron in rest — покоящийся электрон.

Рисунок 4.3. На рисунке: electron at rest — покоящийся электрон, scattered photon — рассеянный фотон.

Рисунок 4.4. На рисунке: recoiling electron — электрон отдачи, scattered again photon — снова рассеянный фотон.

Для характеристики начального фотона используем его импульс \(\vec p_i\) и энергию \(E_i\): \[\begin{cases} \vec P_i = \dfrac{h}{\lambda_i} = \dfrac{h\cdot f_i}{c},\\[8pt] E_i = h\cdot f_i, \end{cases}\tag{4.1}\] \[f_i = \frac{c}{\lambda_i}\tag{4.2}\] — частота начального фотона.

Для начального свободного движущегося электрона импульс \(\vec p_{oe}\) и энергия \(E_{oe}\) равны \[\begin{cases} \vec P_{oe} = m\cdot\vec v_{1e} = \dfrac{m_0\cdot\vec v_{1e}}{\sqrt{1 - \beta^2}},\\[10pt] E_{oe} = m\cdot c^2 = \dfrac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \end{cases}\tag{4.3}\] где \(m_0\) — масса покоя электрона, а \(m\) — масса движущегося электрона. Как обычно, \(\beta = \dfrac{v_{1e}}{c}\).

Длина волны де Бройля первого электрона \[\lambda_{oe} = \frac{h}{p_{0e}} = \frac{h\cdot}{m_0\cdot v_{1e}}\sqrt{1 - \beta^2}.\] Ситуация после рассеяния фотона показана на рисунке 4.2.

Для характеристики рассеянного фотона используем его импульс \(\vec p_0\) и энергию \(E_0\): \[\begin{cases} \vec P_o = \dfrac{h}{\lambda_o} = \dfrac{h\cdot f_o}{c},\\[8pt] E_o = h\cdot f_o, \end{cases}\tag{4.4}\] где \[f_o = \frac{c}{\lambda_0}\tag{4.5}\] — частота рассеянного фотона.

Модуль импульса электрона (который после рассеяния остаётся в покое) равен нулю; его энергия равна \(E_{1e}\). Масса электрона после столкновения равна \(m_0\) — массе покоящегося электрона. Итак, \[E_{1e} = m_0\cdot c^2.\] Чтобы определить импульс первого движущегося электрона, можно записать законы сохранения импульса и энергии: \[\vec P_i + \vec p_{oe} = \vec p_0\tag{4.6}\] и \[E_i + E_{0e} = E_0 + E_{1e}.\tag{4.7}\] Сохранение импульса в направлении \(Ox\) записывается как \[\frac{h\cdot f_i}{c} + m\cdot v_{1e}\cdot\cos\alpha = \frac{h\cdot f_0}{c}\cos\theta,\tag{4.8}\] а сохранение импульса в направлении \(Oy\) — \[m\cdot v_{1e}\cdot\sin\alpha = \frac{h\cdot f_0}{c}\sin\theta.\tag{4.9}\] Чтобы исключить \(\alpha\), два последних уравнения нужно переписать в виде \[\begin{cases} (m\cdot v_{1e}\cdot\cos\alpha)^2 = \dfrac{h^2\cdot}{c^2}(f_0\cdot\cos\theta - f_i)^2,\\[10pt] (m\cdot v_{1e}\cdot\sin\alpha)^2 = \left(\dfrac{h\cdot f_0}{c}\sin\theta\right)^2 \end{cases}\tag{4.10}\] и затем сложить.

Результат: \[m^2\cdot v_{1e}^2 = \frac{h^2}{c^2}\left(f_0^2 + f_1^2 - 2f_0\cdot f_i\cdot\cos\theta\right),\tag{4.11}\] или \[\frac{m_0^2\cdot c^2}{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2}\cdot v_{1e}^2 = h^2\cdot\left(f_0^2 + f_1^2 - 2f_0\cdot f_i\cdot\cos\theta\right).\tag{4.12}\] Закон сохранения энергии (4.7) можно переписать как \[m\cdot c^2 + h\cdot f_1 = m_0\cdot c^2 + h\cdot f_0,\tag{4.13}\] или \[\frac{m_0\cdot c^2}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2}} = m_0\cdot c^2 + h\cdot(f_0 - f_1).\tag{4.14}\] Возводя последнее соотношение в квадрат, получаем \[\frac{m_0^2\cdot c^4}{1 - \left(\dfrac{v_{1e}}{c}\right)^2} = m_0^2\cdot c^4 + h^2\cdot(f_0 - f_1)^2 + m_0\cdot h\cdot c^2\cdot(f_0 - f_1).\tag{4.15}\] Вычитая (4.12) из (4.15), получаем \[2m_0\cdot c^2\cdot h\cdot(f_0 - f_1) + 2h^2\cdot f_1\cdot f_0\cdot\cos\theta - 2h^2\cdot f_1\cdot f = 0,\tag{4.16}\] или \[\frac{h}{m_0\cdot c}(1 - \cos\theta) = \frac{c}{f_1} - \frac{c}{f_0}.\tag{4.17}\]

Используя обозначение \[\Lambda = \frac{h}{m_0\cdot c},\tag{4.18}\] соотношение (4.17) запишем как \[\Lambda\cdot(1 - \cos\theta) = \lambda_i - \lambda_0.\tag{4.19}\] Длина волны рассеянного фотона \[\lambda_0 = \lambda_i - \Lambda\cdot(1 - \cos\theta)\tag{4.20}\] меньше длины волны начального фотона, и, следовательно, энергия рассеянного фотона больше энергии начального фотона: \[\begin{cases} \lambda_i < \lambda_0,\\ E_i > E_0. \end{cases}\tag{4.21}\]

Рассмотрим теперь второй процесс столкновения, происходящий в точке \(N\). Для этого введём новую систему отсчёта, ось \(Ox\) которой направлена по направлению фотона, рассеянного после первого столкновения.

На рисунке 4.3 показана ситуация до второго столкновения, а на рисунке 4.4 — ситуация после этого процесса рассеяния. Закон сохранения импульса в процессе рассеяния даёт \[\begin{cases} \dfrac{h}{\lambda_0} = \dfrac{h}{\lambda_f}\cos\theta + m\cdot v_{2e}\cdot\cos\beta,\\[8pt] \dfrac{h}{\lambda_f}\sin\theta - m\cdot v_{2e}\cdot\sin\beta = 0. \end{cases}\tag{4.22}\] Чтобы исключить неизвестный угол \(\beta\), нужно возвести уравнения (4.22) в квадрат и сложить.

То есть \[\begin{cases} \left(\dfrac{h}{\lambda_0} - \dfrac{h}{\lambda_f}\cos\theta\right)^2 = (m\cdot v_{2e}\cdot\cos\beta)^2,\\[10pt] \left(\dfrac{h}{\lambda_f}\sin\theta\right)^2 = (m\cdot v_{2e}\cdot\sin\beta)^2, \end{cases}\tag{4.23}\] или \[\left(\frac{h}{\lambda_f}\right)^2 + \left(\frac{h}{\lambda_0}\right)^2 - \frac{2\cdot h^2}{\lambda_0\cdot\lambda_f}\cos\theta = (m\cdot v_{2e})^2.\tag{4.24}\] Закон сохранения энергии во втором процессе рассеяния даёт \[\frac{h\cdot c}{\lambda_0} + m_0\cdot c^2 = \frac{h\cdot c}{\lambda_f} + m\cdot c^2.\tag{4.25}\] (4.24) и (4.25) дают \[\frac{h^2\cdot c^2}{\lambda_f^2} + \frac{h^2\cdot c^2}{\lambda_0^2} - \frac{2\cdot h^2\cdot c^2}{\lambda_0\cdot\lambda_f}\cos\theta = m^2\cdot c^2\cdot v_{2e}^2\tag{4.26}\] и \[h^2\cdot c^2\cdot\left(\frac{1}{\lambda_f} - \frac{1}{\lambda_0}\right)^2 + m_0^2\cdot c^4 + 2h\cdot c^3\cdot m_0\cdot\left(\frac{1}{\lambda_f} - \frac{1}{\lambda_0}\right) = m^2\cdot c^4.\tag{4.27}\] Вычитая (4.26) из (1.27), получаем \[\begin{cases} \dfrac{h}{m_0\cdot c}\cdot(1 - \cos\theta) = \lambda_f - \lambda_0,\\[8pt] \lambda_f - \lambda_0 = \Lambda\cdot(1 - \cos\theta). \end{cases}\tag{4.28}\] То есть \[\begin{cases} \lambda_f > \lambda_0,\\ E_f < E_0. \end{cases}\tag{4.29}\] Поскольку значение \(\lambda_f\) известно, а \(\Lambda\) можно вычислить как \[\begin{cases} \lambda_f = 1{,}25\times 10^{-10}\text{ м},\\[4pt] \Lambda = \dfrac{6{,}6\times 10^{-34}}{9{,}1\times 10^{-31}\cdot 3\times 10^8}\text{ м} = 2{,}41\times 10^{-12}\text{ м} = 0{,}02\times 10^{-10}\text{ м}, \end{cases}\tag{4.30}\] длина волны фотона до второго рассеяния равна \[\lambda_0 = 1{,}23\times 10^{-10}\text{ м}.\tag{4.31}\] Сравнивая (4.28), записанное как \[\lambda_f = \lambda_0 + \Lambda\cdot(1 - \cos\theta),\tag{4.32}\] и (4.20), записанное как \[\lambda_i = \lambda_0 + \Lambda\cdot(1 - \cos\theta),\tag{4.33}\] ясно получаем \[\lambda_i = \lambda_f.\tag{4.34}\] Энергия дважды рассеянного фотона такая же, как энергия начального фотона. Направление «конечного фотона» совпадает с направлением «начального» фотона. Итак, конечный фотон тождественен начальному. Этот результат ожидаем из-за симметрии процессов.

Распространяя анализ симметрии на электроны: первый движущийся электрон, который сталкивается с начальным фотоном и после этого остаётся в покое, должен иметь те же импульс и энергию, что и второй электрон после столкновения, — поскольку этот второй электрон до столкновения покоится.

То есть \[\begin{cases} \vec p_{1e} = \vec p_{2e},\\ E_{1e} = E_{2e}. \end{cases}\tag{4.35}\] С учётом (4.24) импульс конечного электрона равен \[p_{2e} = h\sqrt{\frac{1}{\lambda_f^2} + \frac{1}{\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)^2} - \frac{2\cdot\cos\theta}{\lambda_f\cdot\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)}}.\tag{4.36}\] Длина волны де Бройля второго электрона после рассеяния (и первого электрона до рассеяния) равна \[\lambda_{1e} = \lambda_{2e} = 1\Bigg/\left(\sqrt{\frac{1}{\lambda_f^2} + \frac{1}{\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)^2} - \frac{2\cdot\cos\theta}{\lambda_f\cdot\bigl(\lambda_f - \Lambda(1 - \cos\theta)\bigr)}}\right).\tag{4.37}\] Численное значение этой длины волны \[\lambda_{1e} = \lambda_{2e} = 1{,}24\times 10^{-10}\text{ м}.\tag{4.38}\]

Профессор Делия Давидеску (Национальный департамент оценки и экзаменов, Министерство образования и исследований, Бухарест, Румыния); профессор Адриан С. Дафинеи, PhD (физический факультет Бухарестского университета, Румыния).