Теплоёмкость электронного газа и обратное комптоновское рассеяние

В 3A энергия электрона меняется только у тех электронов, чья энергия отличается от \(E_F\) не больше чем на \(k_BT\) — принцип Паули не даёт остальным поглощать малые порции энергии. В 3B запишите законы сохранения энергии и импульса и исключите энергию и импульс рассеянного электрона; максимальный выигрыш фотона получается, когда электрон после столкновения останавливается.

3A.1) \(\overline E=\dfrac32k_BT\), \(c_V=\dfrac32k_B\);  3A.2.1) \(c_V=\dfrac34\,k_B\dfrac{k_BT}{E_F}\ll\dfrac32k_B\) (официальный ответ в источнике: \(\dfrac94k_B\dfrac{k_BT}{E_F}\); см. решение);  3A.2.2) на тепловое возбуждение способны лишь электроны вблизи \(E_F\) (доля \(\sim k_BT/E_F\));  3B.1) \(h\nu'=h\nu\,\dfrac{E+pc}{E+h\nu+(pc-h\nu)\cos\theta}\), \(pc=\sqrt{E^2-E_0^2}\); максимум при \(\theta=\pi\): \((h\nu')_{\max}=h\nu\,\dfrac{E+pc}{E+2h\nu-pc}\);  3B.2) \((h\nu')_{\max}\approx4\gamma^2h\nu\approx0{,}40\) МэВ, \(\lambda'\approx3{,}1\cdot10^{-3}\) нм;  3B.3.1) \(h\nu=\dfrac12\bigl(E_0-E+\sqrt{E^2-E_0^2}\bigr)\), \(h\nu'=\dfrac12\bigl(E-E_0+\sqrt{E^2-E_0^2}\bigr)\);  3B.3.2) \(h\nu=E_0\), \(h\nu'=E\).

Что происходит. В части 3A классический газ накапливает энергию \(\tfrac32k_BT\) на электрон, поэтому \(c_V=\tfrac32k_B\) при любой температуре. В металле же электроны подчиняются принципу Паули: энергию способны поглощать только те, у кого рядом есть свободные состояния, то есть электроны в узкой полосе шириной порядка \(k_BT\) около уровня Ферми. Их доля мала, и теплоёмкость падает на порядки. В части 3B главная идея — законы сохранения энергии и четырёхмерного импульса: фотон отбирает энергию у электрона, а предельный случай (\(E\) отдана целиком) получается, когда электрон после столкновения покоится.

Обозначения. \(p\), \(E\) — импульс и полная энергия налетающего электрона, \(p'\), \(E'\) — рассеянного; \(h\nu\), \(h\nu'\) — энергии налетающего и рассеянного фотонов; \(E_0=mc^2\) — энергия покоя электрона; \(E^2=(pc)^2+E_0^2\).

3A.1. Свободный электрон — частица с тремя поступательными степенями свободы, и по теореме о равнораспределении энергии средняя энергия электрона при температуре \(T\) равна \(\overline E=\tfrac32k_BT\). Тогда \[c_V=\frac{d\overline E}{dT}=\frac32\,k_B\approx2{,}07\cdot10^{-23}\ \text{Дж/К},\] не зависящая от температуры величина.

3A.2.(1) Полная энергия электронного газа \[U=\int E\,f(E)\,dS=CV\int_0^\infty E^{3/2}f(E)\,dE\equiv CV\,I,\qquad I=\int_0^\infty E^{3/2}f(E)\,dE .\] Постоянную \(C\) найдём из полного числа электронов при \(T=0\) (там \(f=1\) при \(E<E_F^0\) и \(f=0\) выше): \[N=CV\int_0^{E_F^0}E^{1/2}dE=\frac23\,CV\,(E_F^0)^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad CV=\frac{3N}{2(E_F^0)^{3/2}} .\] Считаем \(E_F=E_F^0\) и записываем \(x=k_BT/E_F\ll1\). Подставим линейно убывающую \(f\) (рис. 3 слева): она равна \(1\) при \(E<E_F-k_BT\), равна нулю при \(E>E_F+k_BT\), а между ними \(f=\dfrac{E_F+k_BT-E}{2k_BT}\). Интеграл \(I\) распадается на два: \[I=\underbrace{\int_0^{E_F-k_BT}E^{3/2}dE}_{I_1}+\underbrace{\int_{E_F-k_BT}^{E_F+k_BT}E^{3/2}\,\frac{E_F+k_BT-E}{2k_BT}\,dE}_{I_2}.\] Первый интеграл равен \(I_1=\tfrac25E_F^{5/2}(1-x)^{5/2}\approx E_F^{5/2}\left(\tfrac25-x+\tfrac34x^2\right)\) (разложение с точностью до \(x^2\)). Во втором сделаем замену \(E=E_F(1+u)\) и разложим \((1+u)^{3/2}\approx1+\tfrac32u\) (слагаемые порядка \(u^2\) дают вклад \(\sim x^3\)): \[I_2=E_F^{5/2}\int_{-x}^{x}\Bigl(1+\frac32u\Bigr)\frac{x-u}{2x}\,du=E_F^{5/2}\Bigl(x-\frac{x^2}2\Bigr),\] так как \(\displaystyle\int_{-x}^{x}\frac{x-u}{2x}\,du=x\), а \(\displaystyle\int_{-x}^{x}u\,\frac{x-u}{2x}\,du=-\frac{x^2}3\). Складываем: линейные по \(x\) слагаемые сокращаются, и \[I=E_F^{5/2}\Bigl(\frac25+\frac{x^2}4\Bigr).\]

Рис. 3. Слева: функция Ферми при \(T=0\) (ступенька) и линейная модель при \(T>0\). Справа: плотность занятых состояний \(g(E)f(E)\), \(g\propto\sqrt E\); заштрихованы электроны, освободившие состояния ниже \(E_F\) (серое), и занявшие состояния выше \(E_F\) (бирюзовое). Для наглядности \(k_BT/E_F=0{,}2\).

Средняя энергия электрона \(\overline E=U/N\): \[\overline E=\frac{CV\,I}{N}=\frac{3}{2E_F^{3/2}}\,E_F^{5/2}\Bigl(\frac25+\frac{x^2}4\Bigr)=\frac35E_F+\frac38\,\frac{(k_BT)^2}{E_F}.\] Дифференцируем по температуре: \[c_V=\frac{d\overline E}{dT}=\frac34\,k_B\,\frac{k_BT}{E_F}\ll\frac32\,k_B .\] При \(T=300\) К \(k_BT=0{,}0259\) эВ; для \(E_F\approx5\) эВ получаем \(k_BT/E_F\approx5\cdot10^{-3}\) и \(c_V\approx3{,}9\cdot10^{-3}k_B\), то есть примерно в \(4\cdot10^2\) раз меньше классического \(\tfrac32k_B\) (рис. 4).

Рис. 4. Классическое и квантовое значения \(c_V\) в двойных логарифмических осях; точка — комнатная температура при \(E_F=5\) эВ.

Расхождение с официальным решением: у организаторов в разложении \(I\) стоит \(\tfrac34x^2\) вместо \(\tfrac14x^2\) и ответ \(c_V=\tfrac94k_B\,k_BT/E_F\) — это ошибка разложения (численное интегрирование при \(x=0{,}01\ldots0{,}1\) даёт \((I/E_F^{5/2}-\tfrac25)/x^2=0{,}250\)), а порядок величины и линейность по \(T\) от неё не меняются.

Проверка: размерность \(c_V\) — \(k_B\), безразмерное отношение \(k_BT/E_F\); при \(T\to0\) \(c_V\to0\) (третье начало). Точная формула Зоммерфельда для функции (3) даёт \(c_V=\tfrac{\pi^2}2k_B\,k_BT/E_F\) — ту же зависимость с другим числовым множителем (\(\pi^2/2\approx4{,}9\) вместо \(\tfrac34\)): линейная модель верно передаёт линейность по \(T\) и порядок малости \(k_BT/E_F\).

3A.2.(2) При нагревании могут изменить энергию только те электроны, рядом с энергиями которых есть свободные состояния, то есть лежащие в полосе шириной около \(k_BT\) у уровня Ферми. Электроны глубоко под \(E_F\) (на много \(k_BT\) ниже) не меняют энергию: состояния выше них заняты, и принцип Паули запрещает переход. Доля активных электронов порядка \(k_BT/E_F\sim10^{-2}\), каждый вносит вклад порядка \(k_B\), поэтому средний вклад на один электрон на два порядка меньше классического \(\tfrac32k_B\).

3B.1. Запишем законы сохранения для процесса \(e+\gamma\to e'+\gamma'\) (рис. 5). Закон сохранения энергии: \[h\nu+E=h\nu'+E' .\] Импульс. Электрон летит вдоль \(+x\), фотон — против оси \(x\), так что суммарный импульс системы \((p-h\nu/c)\) направлен вдоль \(+x\). Рассеянный фотон летит под углом \(\theta\) к первоначальному направлению фотона, поэтому импульс рассеянного электрона \(\vec p'\) дополняет импульс фотона до суммарного (векторный треугольник, рис. 5). По теореме косинусов (с учётом, что угол между \(\vec p-\vec k\) и \(\vec k'\) равен \(\pi-\theta\)) \[(p'c)^2=(h\nu')^2+(pc-h\nu)^2+2h\nu'(pc-h\nu)\cos\theta .\]

Рис. 5. Закон сохранения импульса: векторный треугольник из суммарного импульса \((pc-h\nu)/c\) (вдоль оси), импульса рассеянного фотона \(h\nu'/c\) и импульса рассеянного электрона \(p'c/c\); схематично.

Неизвестными остались \(p'\) и \(E'\), связанные соотношением \(E'^2=(p'c)^2+E_0^2\). Из закона сохранения энергии \(E'=E+h\nu-h\nu'\), откуда \[(p'c)^2=E'^2-E_0^2=(pc)^2+(h\nu)^2+(h\nu')^2+2Eh\nu-2Eh\nu'-2h\nu h\nu',\] где использовано \(E^2-E_0^2=(pc)^2\). Приравниваем с выражением из теоремы косинусов, раскрыв \((pc-h\nu)^2\): \[2Eh\nu-2Eh\nu'-2h\nu h\nu'+2pc\,h\nu-2h\nu'(pc-h\nu)\cos\theta=0 ,\] то есть \(h\nu(E+pc)=h\nu'\bigl[E+h\nu+(pc-h\nu)\cos\theta\bigr]\). Ответ: \[h\nu'=h\nu\,\frac{E+pc}{E+h\nu+(pc-h\nu)\cos\theta},\qquad pc=\sqrt{E^2-E_0^2}.\] Энергия \(h\nu'\) максимальна при минимальном знаменателе. Так как кинетическая энергия электрона больше энергии покоя, \(E>2E_0\), и \(pc=\sqrt{E^2-E_0^2}>\sqrt3E_0>h\nu\), то множитель \(pc-h\nu>0\) и знаменатель минимален при \(\cos\theta=-1\), то есть \(\theta=\pi\) (фотон отражается назад и летит в направлении электрона): \[(h\nu')_{\max}=h\nu\,\frac{E+pc}{E+2h\nu-pc}.\]

Рис. 6. Отношение \(h\nu'/h\nu\) как функция угла \(\theta\) при \(E=3E_0\), \(h\nu=0{,}05E_0\): при \(\theta=0\) фотон не меняет энергию, при \(\theta=\pi\) усиление максимально.

Проверка: при \(\theta=0\) получаем \(h\nu'=h\nu\) (фотон пролетает без рассеяния); при \(E\to E_0\), \(p\to0\) формула сводится к комптоновскому \(h\nu'=h\nu\,E_0/(E_0+h\nu(1-\cos\theta))\) для покоящегося электрона.

3B.2. Подставим \(E=\gamma E_0\), \(pc=E_0\sqrt{\gamma^2-1}\): \[(h\nu')_{\max}=h\nu\,\frac{\gamma+\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma-\sqrt{\gamma^2-1}+2h\nu/E_0}.\] При \(\gamma\gg1\) \(\sqrt{\gamma^2-1}\approx\gamma-\dfrac1{2\gamma}\), поэтому числитель \(\approx2\gamma\), а знаменатель \(\approx\dfrac1{2\gamma}+\dfrac{2h\nu}{E_0}\approx\dfrac1{2\gamma}\), так как \(h\nu\ll E_0/\gamma\). Получаем \[(h\nu')_{\max}\approx4\gamma^2\,h\nu .\] Численно: \(h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{1{,}24\cdot10^3\ \text{эВ·нм}}{500\ \text{нм}}=2{,}48\) эВ; проверка условия: \(h\nu/E_0=4{,}85\cdot10^{-6}\ll1/\gamma=5{,}0\cdot10^{-3}\). Тогда \[(h\nu')_{\max}\approx4\cdot200^2\cdot2{,}48\ \text{эВ}=3{,}97\cdot10^{5}\ \text{эВ}\approx0{,}40\ \text{МэВ},\qquad \lambda'=\frac{hc}{(h\nu')_{\max}}=\frac{1{,}24\cdot10^3}{3{,}97\cdot10^5}\ \text{нм}\approx3{,}1\cdot10^{-3}\ \text{нм}.\] Фотон из видимого превращается в жёсткое рентгеновское: энергия выросла в \(4\gamma^2=1{,}6\cdot10^5\) раз. Проверка: точная формула при \(\gamma=200\) даёт \(3{,}95\cdot10^5\) эВ, расхождение с приближением \(0{,}4\) %.

3B.3.(1) Фотон не может получить больше, чем отдаст электрон. Выигрыш фотона \(\Delta=h\nu'-h\nu=E-E'\le E-E_0\), так как \(E'\ge E_0\); равенство — при \(E'=E_0\), то есть когда электрон после столкновения покоится. Найдём, при каком \(h\nu\) это возможно. Законы сохранения (электрон покоится, фотон летит вдоль оси; рис. 7 слева): \[h\nu+E=h\nu'+E_0,\qquad pc-h\nu=h\nu' .\] Вычитаем второе из первого: \(2h\nu=E_0-E+pc\), то есть \[h\nu=\frac12\Bigl(E_0-E+\sqrt{E^2-E_0^2}\Bigr),\qquad h\nu'=h\nu+E-E_0=\frac12\Bigl(E-E_0+\sqrt{E^2-E_0^2}\Bigr).\] Выражение для \(h\nu\) положительно, поскольку \(pc>E-E_0\). Фотон забирает всю кинетическую энергию электрона.

Рис. 7. Слева: встречное столкновение, электрон останавливается (\(E_0\)), фотон уносит энергию \(h\nu'\) вперёд. Справа: перпендикулярное столкновение; импульсы \(pc\), \(h\nu\) и \(h\nu'\) образуют прямоугольный треугольник.

Пример для \(E=200E_0\): \(h\nu\approx0{,}255\) МэВ, \(h\nu'\approx102\) МэВ. Подстановка этого \(h\nu\) в формулу из 3B.1 для \(\theta=\pi\) даёт то же \(h\nu'\).

3B.3.(2) Электрон летит вдоль оси \(x\), фотон — перпендикулярно. Снова максимум выигрыша — когда электрон останавливается. Сохранение энергии: \(h\nu+E=h\nu'+E_0\). Сохранение импульса: у электрона \(p\) вдоль \(x\), у фотона \(h\nu/c\) перпендикулярно, у рассеянного фотона \(h\nu'/c\) вдоль гипотенузы, поэтому \((pc)^2+(h\nu)^2=(h\nu')^2\) (рис. 7 справа). Подставим \((pc)^2=E^2-E_0^2\) и \(h\nu'=h\nu+E-E_0\): \[E^2-E_0^2+(h\nu)^2=(h\nu)^2+2h\nu(E-E_0)+(E-E_0)^2 .\] Сокращаем \((h\nu)^2\) и делим на \(E-E_0\neq0\): \(E+E_0=2h\nu+E-E_0\), откуда \[h\nu=E_0,\qquad h\nu'=h\nu+E-E_0=E .\] Фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, забирает всю кинетическую энергию электрона, и его энергия становится равной полной энергии электрона: \(h\nu'=E\). Проверка: размерность энергий верна; при \(E=200E_0\) получаем \(h\nu=0{,}511\) МэВ и \(h\nu'=102\) МэВ.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.