Качение взад и вперёд шара, наполненного жидкостью

Период малых колебаний определяется «приведённой массой»: к массе шара добавляется \(I/r^2\), потому что трение раскручивает шар. В третьей части в момент затвердевания жидкости сохраняется момент импульса относительно точки касания \(O\), а время каждой четверти цикла равно четверти периода своего состояния.

1.1) \(I=\dfrac23mr^2+\dfrac25Mr^2\);  1.2) \(T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{R-r}{g}\cdot\dfrac{5m/3+7M/5}{m+M}}\);  2) \(T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{R-r}{g}\cdot\dfrac{5m/3+M}{m+M}}\);  3) \(T_3=\dfrac{T_1+T_2}{2}=\pi\sqrt{\dfrac{R-r}{g}}\left(\sqrt{\dfrac{5m/3+7M/5}{m+M}}+\sqrt{\dfrac{5m/3+M}{m+M}}\right)\),  \(\theta_n=\left(\dfrac{5m/3+M}{5m/3+7M/5}\right)^{n}\theta_0\).

Что происходит. Шар без проскальзывания катится по дну чаши, а его центр \(C\) движется по дуге радиуса \(R-r\) — как маятник. При малых углах колебания гармонические, а период зависит от того, какая часть массы участвует во вращении: чем «тяжелее» вращение, тем медленнее движение. Если жидкость затвердела, вращается всё; если жидкость идеальная, вращается только оболочка. В третьей части жидкость затвердевает на каждом проходе положения равновесия — это неупругий процесс, поэтому амплитуда уменьшается, хотя период от амплитуды не зависит. Главный закон третьей части — сохранение момента импульса относительно точки касания \(O\) при мгновенном затвердевании.

Обозначения. \(\theta\) — угол между линией \(DC\) и вертикалью, считаем его положительным при отклонении вправо; \(\theta\ll1\). Ось \(\tau\) направлена по касательной к траектории центра в сторону роста \(\theta\). Расстояние \(DC=R-r\), скорость центра \(v_C=(R-r)\dot\theta\). Угловые скорости вращения отсчитываем против часовой стрелки.

1.1. Тонкая оболочка массы \(m\) имеет поверхностную плотность \(\sigma=m/(4\pi r^2)\). Вырежем на ней узкий пояс, видимый из центра \(C\) под малым углом \(d\alpha\) и расположенный под углом \(\alpha\) к оси \(C\) (рис. 2). Площадь пояса \(dS=2\pi r\sin\alpha\cdot r\,d\alpha\), все его точки удалены от оси на \(r\sin\alpha\), поэтому его момент инерции относительно оси \(C\) равен \(dI_1=\sigma\,dS\,(r\sin\alpha)^2\). Складываем по всей оболочке, \(\alpha\) от \(0\) до \(\pi\): \[I_1=2\pi\sigma r^4\int_0^{\pi}\sin^3\alpha\,d\alpha=2\pi\sigma r^4\cdot\frac43=\frac{8\pi}{3}\cdot\frac{m}{4\pi r^2}\,r^4=\frac23\,mr^2 .\]

Рис. 2. Узкий пояс на сферической оболочке: угол \(\alpha\) отсчитывается от оси, \(r\sin\alpha\) — расстояние пояса до оси.

Твёрдый шар радиуса \(r\) и массы \(M\) имеет плотность \(\rho=M/(\frac43\pi r^3)\). Разобьём его на тонкие сферические слои радиуса \(r'\) и толщины \(dr'\). Масса слоя \(dm'=\rho\cdot4\pi r'^2dr'\), а по уже найденному его момент инерции \(dI_2=\frac23\,r'^2\,dm'\). Складываем по \(r'\) от \(0\) до \(r\): \[I_2=\int_0^r\frac23\,r'^2\rho\,4\pi r'^2\,dr'=\frac{8\pi\rho}{3}\cdot\frac{r^5}{5}=\frac25\,Mr^2 .\] Моменты инерции аддитивны, поэтому \[I=I_1+I_2=\frac23\,mr^2+\frac25\,Mr^2 .\] Проверка: при \(M=0\) получаем момент инерции тонкой оболочки \(\frac23mr^2\), при \(m=0\) — момент инерции однородного шара \(\frac25Mr^2\).

1.2. Качение — движение центра по дуге плюс вращение вокруг \(C\). Запишем три соотношения.

Поступательное движение центра масс. Центр масс системы совпадает с \(C\) и движется по дуге радиуса \(R-r\). Второй закон Ньютона для шара в проекции на ось \(\tau\) (тангенциальное ускорение \((R-r)\ddot\theta\); из внешних сил вдоль \(\tau\) действуют проекция силы тяжести \(-(m+M)g\sin\theta\) и сила трения покоя \(f\) в точке касания, сила реакции \(\vec N\) направлена вдоль радиуса): \[(m+M)(R-r)\ddot\theta=-(m+M)g\sin\theta+f\approx-(m+M)g\theta+f .\] Здесь учтено, что \(\theta\ll1\), то есть \(\sin\theta\approx\theta\).

Вращение вокруг \(C\). Относительно оси, проходящей через \(C\), момент создаёт только сила трения: \(\vec N\) идёт по радиусу, а сила тяжести приложена в \(C\). Уравнение вращения шара в проекции на ось, перпендикулярную плоскости рисунка (против часовой стрелки): \[I\dot\omega=rf ,\] где \(\omega\) — угловая скорость вращения шара вокруг \(C\).

Отсутствие проскальзывания. Скорость точки касания равна нулю: \(v_C+\omega r=0\) (в точке \(P\) вращение даёт скорость \(\omega r\) вдоль \(\tau\)), то есть \(\omega=-(R-r)\dot\theta/r\). Знак минус: при движении вправо шар вращается по часовой стрелке (рис. 3).

Рис. 3. Силы на шар: тяжесть \((m+M)\vec g\) приложена в \(C\), реакция \(\vec N\) направлена по радиусу к \(D\), сила трения \(\vec f\) — вдоль касательной \(\tau\) в точке касания \(P\). Стрелка у \(C\) — вращение шара при движении вправо.

Неизвестной осталась \(f\). Из уравнения вращения и условия качения \[f=\frac{I\dot\omega}{r}=-\frac{I}{r^2}(R-r)\ddot\theta .\] Подставляем в уравнение движения центра масс: \[\left(m+M+\frac I{r^2}\right)(R-r)\ddot\theta=-(m+M)g\theta .\] Для твёрдого шара \(I/r^2=\frac23m+\frac25M\), поэтому \(m+M+I/r^2=\frac53m+\frac75M\): \[\left(\frac53\,m+\frac75\,M\right)(R-r)\ddot\theta=-(m+M)g\theta .\] Это уравнение гармонических колебаний \(\ddot\theta=-\omega_1^2\theta\) с \[\omega_1^2=\frac{(m+M)\,g}{(5m/3+7M/5)(R-r)},\qquad T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=2\pi\sqrt{\frac{R-r}{g}\cdot\frac{5m/3+7M/5}{m+M}} .\] Проверка: при \(m=0\) (однородный шар) получаем \(T_1=2\pi\sqrt{7(R-r)/(5g)}\) — известный период шара, катящегося в чаше; при \(I\to0\) (без вращения) получили бы \(2\pi\sqrt{(R-r)/g}\), период математического маятника длины \(R-r\). Вращение увеличивает «инерцию» и период.

2. Если жидкость идеальная и трения между ней и оболочкой нет, жидкость не получает момента от стенки и не вращается (рис. 4). Её центр масс по-прежнему совпадает с \(C\), поэтому уравнение движения центра масс и условие качения без проскальзывания не меняются. Меняется только уравнение вращения: вращается одна оболочка, \(I\to I_1=\frac23mr^2\): \[f=-\frac{I_1}{r^2}(R-r)\ddot\theta,\qquad \left(\frac53\,m+M\right)(R-r)\ddot\theta=-(m+M)g\theta .\] Отсюда \[\omega_2^2=\frac{(m+M)\,g}{(5m/3+M)(R-r)},\qquad T_2=2\pi\sqrt{\frac{R-r}{g}\cdot\frac{5m/3+M}{m+M}} .\]

Рис. 4. В твёрдом состоянии вращается весь шар (слева); при идеальной жидкости вращается только оболочка, жидкость лишь поступательно движется вместе с центром (справа).

Проверка: \(T_2<T_1\) при \(M>0\), потому что жидкость участвует только в поступательном движении и «утяжеляет» шар меньше; при \(M=0\) периоды совпадают, при \(m=0\) получаем \(T_2=2\pi\sqrt{(R-r)/g}\) — жидкость просто скользит по чаше как математический маятник.

3. Период. Из положения \(A_0\) в \(O\) шар идёт с жидкостью — четверть периода \(T_2\), то есть \(T_2/4\). От \(O\) до \(A_0'\) вещество твёрдое — \(T_1/4\). От \(A_0'\) до \(O\) снова жидкость — \(T_2/4\), от \(O\) до \(A_1\) твёрдое — \(T_1/4\). Период гармонического колебания от амплитуды не зависит, поэтому полный цикл (возвращение в правое крайнее положение) длится \[T_3=\frac{T_2}4+\frac{T_1}4+\frac{T_2}4+\frac{T_1}4=\frac{T_1+T_2}2=\pi\sqrt{\frac{R-r}{g}}\left(\sqrt{\frac{5m/3+7M/5}{m+M}}+\sqrt{\frac{5m/3+M}{m+M}}\right).\]

Амплитуда. Найдём скорость центра в момент прохождения положения \(O\) после спуска с \(A_0\). В жидком состоянии движение — гармоническое с частотой \(\omega_2\), поэтому в положении равновесия скорость максимальна: \[v_C=\omega_2(R-r)\theta_0 .\] Оболочка при качении без проскальзывания вращается с угловой скоростью \(\Omega=v_C/r\) (по модулю).

В момент \(O\) жидкость затвердевает. Рассмотрим момент импульса системы относительно точки \(O\) — точки касания шара с чашей в этот момент. Сила тяжести проходит через \(O\) (центр \(C\) находится вертикально над \(O\)), сила реакции и трение приложены в самой точке \(O\), значит, их момент относительно \(O\) равен нулю. Силы, возникающие при затвердевании жидкости, внутренние. Следовательно, момент импульса относительно \(O\) сохраняется.

Рис. 5. Момент прохождения положения равновесия: слева жидкость (вращается только оболочка, угловая скорость \(\Omega\)), справа — всё твёрдое (угловая скорость \(\Omega'\)). Центр \(C\) находится на расстоянии \(r\) над точкой касания \(O\).

Момент импульса относительно \(O\) до затвердевания: движение центра масс всей системы \((m+M)v_Cr\) плюс спин одной оболочки \(I_1\Omega\) (спин жидкости равен нулю); оба слагаемых направлены одинаково, так как шар катится без проскальзывания. После затвердевания шар вращается как целое с угловой скоростью \(\Omega'\) вокруг \(C\) и катится без проскальзывания, \(v_C'=\Omega'r\): \[(m+M)v_Cr+I_1\Omega=\bigl[I+(m+M)r^2\bigr]\Omega' .\] Подставим \(\Omega=v_C/r\), \(I_1=\frac23mr^2\), \(I=\frac23mr^2+\frac25Mr^2\): \[\Omega'=\frac{v_C}{r}\cdot\frac{(5m/3+M)\,r^2}{(5m/3+7M/5)\,r^2},\qquad v_C'=\Omega'r=v_C\,\frac{5m/3+M}{5m/3+7M/5}=q\,v_C ,\] где для краткости \[q=\frac{5m/3+M}{5m/3+7M/5}<1 .\] После \(O\) шар движется в твёрдом состоянии, с частотой \(\omega_1\) и амплитудой \(\theta_0'\) (левое крайнее положение \(A_0'\)), поэтому в \(O\) его скорость \(v_C'=\omega_1(R-r)\theta_0'\). Сравнивая с \(v_C=\omega_2(R-r)\theta_0\) и учитывая \(\omega_2/\omega_1=\sqrt{(5m/3+7M/5)/(5m/3+M)}=1/\sqrt q\), получаем \[\theta_0'=\theta_0\,\frac{v_C'}{v_C}\,\frac{\omega_2}{\omega_1}=\theta_0\,q\cdot\frac1{\sqrt q}=\theta_0\sqrt q .\] Дальше процесс повторяется: от \(A_0'\) до \(O\) жидкость, в \(O\) затвердевание, до \(A_1\) — твёрдое. Те же рассуждения дают \(\theta_1=\theta_0'\sqrt q=q\,\theta_0\). На каждом полуцикле амплитуда умножается на \(\sqrt q\), за полный цикл — на \(q\). Для правых крайних положений \[\theta_n=q^n\theta_0=\left(\frac{5m/3+M}{5m/3+7M/5}\right)^{n}\theta_0 .\]

Рис. 6. Зависимость \(\theta(t)\) при \(m=M\) (\(q\approx0{,}87\), \(T_1/T_2\approx1{,}07\)): бирюзовым выделены участки с жидкостью (частота \(\omega_2\)), чёрным — с твёрдым веществом (частота \(\omega_1\)). Колебание не гармоническое, но состоит из четвертей двух синусоид; крайние отклонения убывают: \(\theta_0\), \(\theta_0'\), \(\theta_1\), …

Обратите внимание: закон сохранения энергии здесь не работает — при затвердевании механическая энергия теряется (процесс неупругий), сохраняется только момент импульса относительно \(O\). Именно поэтому амплитуда уменьшается.

Проверка: при \(M=0\) жидкости нет, \(q=1\) и амплитуда не меняется; при \(m=0\) получаем \(q=5/7\) — амплитуда падает в \(7/5\) раза за цикл. Размерность \(T\): \(\sqrt{(R-r)/g}\) — секунды, дроби безразмерны.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.