Задачи › Динамика качения

Горка профессора Вагнера

  1. Горка профессора Вагнера

    «Покори Воробьёвы горы!» 2016/17, 10–11 кл.
    8/10

    Однажды летом на своей даче профессор Вагнер соорудил горку. Наклон горки к горизонту был невелик (см. рисунок) – \(\alpha=10^\circ\), но скатываться с нее нужно было с помощью приспособления из двух цилиндрических тонкостенных труб и ровной тяжелой доски. Трубы устанавливались на наклонную плоскость горки так, что их оси были горизонтальны, и лежащая на них доска тоже была горизонтальной. На доске размещался груз, и затем систему отпускали без начальной скорости. В одном из случаев небольшой груз был размещен над осью меньшей по диаметру трубы. При этом расстояние по горизонтали до оси большей трубы равнялось \(L=1{,}46\) м. Профессор измерил время от старта до того момента, когда груз оказался над осью большей трубы. Какой результат он получил (его секундомер отсчитывает время с точностью \(0{,}1\) с)? Масса одной из труб в \(k=2\) раза, а другой – в \(n=3\) раза превосходит массу доски. Ускорение свободного падения считать равным \(g\approx9{,}8\) м/с\(^2\). В процессе скатывания в пределах исследуемого интервала времени доска не отрывалась от труб и не скользила по ним, груз не скользил по доске, а трубы не скользили по горке. Трение качения не учитывать.

    Рисунок

    Примечание: можно было обратить внимание, что из-за отсутствия проскальзывания путь груза относительно оси трубы равен смещению оси трубы относительно наклонной поверхности; тогда достаточно найти ускорение оси трубы относительно горки, а время — по средней скорости. Все методы приемлемы при корректном обосновании действий.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Трубы катятся без проскальзывания, точки касания с горкой — мгновенные оси вращения. Найдите ускорение груза относительно оси большей трубы, учитывая, что доска движется поступательно.

    Ответ

    \(t=2\sqrt{\dfrac{n+k+1+\cos\alpha}{n+k+1}\cdot\dfrac{L}{g\sin\alpha}}\approx2{,}0\) с.

    Решение

    Для каждой из труб мгновенная ось вращения проходит через точки касания с наклонной поверхностью горки. Скорость точки доски, соприкасающейся с трубой, равна скорости соответствующей точки трубы. Радиус вращения этой точки перпендикулярен биссектрисе угла, образованного доской и поверхностью горки, поэтому скорости двух точек доски, соприкасающихся с трубами, параллельны и направлены «вниз» под углом \(\alpha/2\) к горизонту. Значит, доска движется поступательно (величина скорости \(V\) всех её точек одинакова) и остаётся горизонтальной. Угловая скорость трубы \(\omega_i=\dfrac{V}{2R_i\cos(\alpha/2)}\), линейная скорость вращения труб одинакова (\(\omega_1R_1=\omega_2R_2\)), и такую же величину имеет скорость оси трубы относительно наклонной горки. Вертикальные составляющие скоростей доски и осей труб совпадают, расстояние между осями труб не меняется.

    Кинетическая энергия системы \(E_K=\dfrac{mV^2}{2}+(k+n)m\dfrac{V^2}{4\cos^2(\alpha/2)}=\dfrac{k+n+1+\cos\alpha}{1+\cos\alpha}\cdot\dfrac{mV^2}{2}\) (кинетическая энергия катящейся без проскальзывания трубы равна сумме одинаковых энергий поступательного и вращательного движений; масса груза пренебрежимо мала). Из закона сохранения энергии \(dE_K=-dE_g\) получаем, что ускорение доски постоянно (пока выполняются условия отсутствия проскальзывания и отрыва доски от труб): \(a=\dfrac{(n+k+1)(1+\cos\alpha)}{k+n+1+\cos\alpha}\,g\sin\dfrac{\alpha}{2}\).

    Вертикальные составляющие ускорений доски и оси трубы совпадают, поэтому относительное движение груза и оси большей трубы происходит горизонтально. Его ускорение \(a'_x=a\left[\cos\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\cos\alpha}{2\cos(\alpha/2)}\right]=g\dfrac{(n+k+1)\sin\alpha}{2(k+n+1+\cos\alpha)}\). Расстояние \(L\) без начальной скорости груз пройдет за время \(t=\sqrt{\dfrac{2L}{a'_x}}=2\sqrt{\dfrac{n+k+1+\cos\alpha}{n+k+1}\cdot\dfrac{L}{g\sin\alpha}}\approx2{,}0\) с.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх