На перегибе

Тормозной путь на горизонтальном участке после наклонного должен линейно зависеть от \(h\) при фиксированном угле. Подберите коэффициенты этой зависимости и сравните данные второй таблицы с ней.

Пусть \(r\) — радиус кривизны участка сопряжения. Во всех опытах \(\mu<\operatorname{tg}\alpha\). Скорость на входе в горизонтальный участок по закону сохранения энергии (с учетом работы силы трения скольжения на наклонном участке \(A_{тр}=-\mu mgh\operatorname{ctg}\alpha\)): \(v_1^2=2gh[1-\mu\operatorname{ctg}\alpha]-2gr[1-\cos\alpha]\).

На участке сопряжения удобно использовать угол поворота шайбы \(\varphi\) от начала сопряжения. Уравнения движения: \(\dfrac{dv}{dt}=-\mu\dfrac{v^2}{r}+g[\sin(\alpha-\varphi)-\mu\cos(\alpha-\varphi)]\), \(\dfrac{d(v^2)}{d\varphi}=-2\mu v^2+2gr[\sin(\alpha-\varphi)-\mu\cos(\alpha-\varphi)]\). Пренебрегая слагаемым порядка \(gr\) (при \(\mu v^2\gg gr\)), получаем \(v^2(\varphi)\approx v_1^2e^{-2\mu\varphi}\), так что \(v_2^2\approx v_1^2e^{-2\mu\alpha}\); с учетом слагаемых порядка \(gr\): \(v_2^2=2gh[1-\mu\operatorname{ctg}\alpha]e^{-2\mu\alpha}-cgr\), где безразмерная величина \(c\) близка к 1.

Тормозной путь на горизонтальном участке (ускорение шайбы \(\mu g\)): \(s=\dfrac{v_2^2}{2\mu g}=h\left[\dfrac{1}{\mu}-\operatorname{ctg}\alpha\right]e^{-2\mu\alpha}-\dfrac{c}{2\mu}r\equiv kh+b\). Зависимость \(s(h)\) из таблицы 1 действительно линейна. Методом наименьших квадратов получаем \(k\approx0{,}456\pm0{,}003\) и \(b\approx(-0{,}0112\pm0{,}0008)\) м. Продолжая зависимость в область меньших \(h\), находим \(s(0{,}2\text{~м})\approx(0{,}080\pm0{,}007)\) м. По таблице 2 (графический анализ) для этого значения тормозного пути получается угол \(\alpha\approx(45\pm2)^\circ\).

Тогда коэффициент трения удовлетворяет уравнению \(\left[\dfrac{1}{\mu}-1\right]\exp(-1{,}57\,\mu)\approx0{,}456\) (при \(\alpha=45^\circ\), \(2\alpha\mu=1{,}57\mu\)), откуда \(\mu\approx0{,}50\pm0{,}02\).