Двухфотонная люминесценция

Почернение пропорционально экспозиции; там, где импульсы перекрываются, интенсивность возбуждения вдвое больше, а люминесценции — вчетверо. Найдите границы области перекрытия из законов движения фронтов.

Зависимость почернения от координаты кусочно-линейна, ширина максимума равна длине импульса в растворе \(c\tau\); \(\delta l\approx6\text{ мм}\), длительность импульса \(\tau\approx3\cdot10^{-11}\text{ с}=30\text{ пс}\).

11-4. Степень почернения фотопластинки пропорциональна экспозиции - произведению интенсивности света на время засветки. Если интенсивность света изменяется в течение времени фотографирования, то для вычисления степени почернения необходимо просуммировать экспозиции по тем промежуткам в течении которых интенсивность света постоянна. В разных точках трека световые импульсы перекрываются по разному (либо не перекрываются вовсе). В момент перекрытия импульсов интенсивность возбуждения возрастает в 2 раза, следовательно, интенсивность люминесценции возрастает в 4 раза. Этим объясняется наличие области большего почернения на фотографии трека. Заметим, что в случае обычной люминесценции или рассеяние «след» импульса имел бы постоянную засветку.

Построим графики законов движения передних и задних фронтов первого, распространяющегося вправо, и второго, распространяющегося влево, импульсов:

1) передний фронт первого импульса \(x_1 = ct\);

2) задний фронт первого импульса \(x_2 = c(t - \tau)\); 3) передний фронт второго импульса \(x_3 = l - ct\); 4) задний фронт второго импульса \(x_4 = l - c(t - \tau)\).

В этих уравнениях \(c\) - скорость света в растворе; \(l\) - длина кюветы; \(\tau\) - длительность импульса. Как видно из графиков импульсы перекрываются в области от точки \(A\) до точки \(C\), а в точке \(B\) - перекрытие импульсов полное. Координаты этих точек легко найти из уравнений движения:

\[x_A = \frac{l - c\tau}{2}; x_B = \frac{l}{2}; x_C = \frac{l + c\tau}{2}.\]

При \(x < x_A\) возбуждающие импульсы не перекрываются, поэтому суммарная засветка пленки в этих точках равна \(E_1 = 2bI_0^2\tau\), где \(b\) - некоторый постоянный коэффициент. При \(x_A < x < x_B\) степень засветки следует рассчитывать по формуле

\[E_2 = bI_0^2(t_2 - t_1) + b(2I_0)^2(t_3 - t_2) + bI_0^2(t_4 - t_3),\]

где смысл используемых моментов времени ясен из рисунка. Эти моменты времени также легко могут быть найдены из законов движения. Аккуратный подсчет засветки в этой области приводит к результату

\[E_2 = bI_0^2(4\tau - 2\frac{l - 2x}{c}).\]

При \(x > x_B\) функция отображается симметрично - для чего следует заменить величину \(l - 2x\) на \(2x - l\). Таким образом полностью искомая зависимость степени почернения от координаты имеет вид:

\[E = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 2 b I _ { 0 } ^ { 2 } \tau , } & { \text{при} \quad \displaystyle x < \frac { l - c \tau } { 2 } } \\ { \displaystyle b I _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 \tau - 2 \frac { l - 2 x } { c } ) , } & { \text{при} \quad \displaystyle \frac { l - c \tau } { 2 } < x < \frac { l } { 2 } } \\ { \displaystyle b I _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 \tau - 2 \frac { 2 x - l } { c } ) , } & { \text{при} \quad \displaystyle \frac { l } { 2 } < x < \frac { l + c \tau } { 2 } } \\ { \displaystyle 2 b I _ { 0 } ^ { 2 } \tau , } & { \text{при} \quad \displaystyle x > \frac { l + c \tau } { 2 } } \end{array} \right.\]

График этой функции представлен на рис.2. Легко заметить, что разность \(x _ { C } - x _ { A } = c \tau\), т.е. ширина максимума равна длине импульса в растворе, откуда без труда вычисляется его длительность.

В реальном эксперименте такого типа неизбежны флуктуации степени почернения. Поэтому необходимо на приведенном графике «усреднить» функциональную зависимость, что проделано на рис.3.

Из этого графика находим, что длина импульса примерно равна \(\delta l \approx 6\) мм, следовательно, его длительность

\[\tau = \frac { \delta l } { c } = \frac { n \delta l } { c _ { 0 } } \approx 3 \cdot 10^{-11}\ \text{с} = 30\ \text{пс},\]

где \(c _ { 0 } \approx 3 \cdot 1 0 ^ { 8 }\) м / с - скорость света в вакууме.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.