Отражатели на Луне
5/10В ходе советско-французского эксперимента по оптической локации Луны световой импульс рубинового лазера (\(\lambda = 0{,}69\text{ мкм}\)) направлялся на поверхность Луны телескопом с диаметром зеркала \(D = 2{,}6\text{ м}\). Отражатель на поверхности Луны отражал свет назад как идеальное зеркало диаметром \(d = 20\text{ см}\). Отражённый свет затем собирался тем же телескопом и фокусировался на фотоприёмник.
1) С какой точностью нужно наводить оптическую ось телескопа в этом эксперименте?
2) Какую долю излучённой энергии лазера можно зарегистрировать после отражения от Луны, если пренебречь потерями света в атмосфере Земли?
3) Можно ли увидеть отражённый световой импульс невооружённым глазом, если энергия одного импульса лазера \(E = 1\text{ Дж}\), а пороговая чувствительность глаза равна \(n = 100\) квантам света?
4) Считая, что поверхность Луны отражает \(\alpha = 10\,\%\) падающего света в телесный угол \(2\pi\) стерадиан, оцените выигрыш от использования отражателя.
Расстояние от Земли до Луны \(L = 380\,000\text{ км}\). Диаметр зрачка глаза \(d_p = 5\text{ мм}\). Постоянная Планка \(h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\text{ Дж·с}\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаРасходимость пучка, вышедшего из апертуры диаметром \(D\), определяется дифракцией: \(\delta\varphi \approx \lambda/D\). Доля энергии, попавшей на отражатель, — отношение площадей отражателя и светового пятна; отражённый пучок тоже расходится за счёт дифракции на отражателе.
Ответ1) \(\delta\varphi \approx \lambda/D \approx 2{,}6\cdot 10^{-7}\text{ рад} \approx 0{,}05''\); 2) \(K_0 = \left(\dfrac{dD}{2\lambda L}\right)^4 \approx 10^{-12}\); 3) нельзя: \(N = 12 < n\); 4) \(\beta = K_0/K \approx 2\cdot 10^6\).
Решение1) Угол расходимости пучка \(\delta\varphi\), обусловленный дифракцией, определяет точность установки оптической оси телескопа: \[\delta\varphi \approx \lambda/D \approx 2{,}6\cdot 10^{-7}\text{ рад} \approx 0{,}05''.\]
2) Долю \(K_1\) энергии лазера, направленной на отражатель, можно найти как отношение площади отражателя \(S_1\) (\(S_1 = \pi d^2/4\)) к площади \(S_2\) светового пятна на Луне (\(S_2 = \pi r^2\), где \(r = L\,\delta\varphi \approx L\lambda/D\), \(L\) — расстояние от Земли до Луны): \[K_1 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{d^2}{(2r)^2} = \frac{d^2 D^2}{4\lambda^2 L^2}.\] Отражённый световой пучок также расходится и образует на поверхности Земли световое пятно радиусом \(R\): \[R = \lambda L/d, \quad\text{так как}\quad r \ll R .\] Поэтому доля \(K_2\) отражённой энергии, попавшей в телескоп, составляет \[K_2 = \frac{D^2}{(2R)^2} = \frac{D^2 d^2}{4\lambda^2 L^2}.\] Доля \(K_0\) энергии лазера, попавшей в телескоп после отражения от отражателя на Луне, равна \[K_0 = K_1 K_2 = \left(\frac{dD}{2\lambda L}\right)^4 \approx 10^{-12}.\]
3) Зрачок невооружённого глаза получает меньшую часть светового потока, чем телескоп, так как площадь зрачка \(S_e\) меньше площади зеркала телескопа \(S_t\): \[K_e = K_0\frac{S_e}{S_t} = K_0\frac{d_e^2}{D^2} \approx 3{,}7\cdot 10^{-18}.\] Поэтому число фотонов \(N\), попадающих в зрачок глаза, равно \[N = \frac{E}{h\nu}K_e = 12 .\] Так как \(N < n\), отражённый импульс невооружённым глазом заметить нельзя.
4) В отсутствие отражателя \(\alpha = 10\,\%\) энергии лазера, попавшей на Луну, рассеивается лунной поверхностью в телесный угол \(\Omega_1 = 2\pi\) стерадиан.
Телесный угол, под которым зеркало телескопа видно с Луны, составляет \[\Omega_2 = S_t/L^2 = \pi D^2/4L^2 .\] Поэтому в телескоп попадает доля энергии \(K\), равная \[K = \alpha\frac{\Omega_2}{\Omega_1} = \alpha\frac{D^2}{8L^2} \approx 0{,}5\cdot 10^{-18}.\] Таким образом, выигрыш \(\beta\), получаемый благодаря использованию отражателя, равен \[\beta = K_0/K \approx 2\cdot 10^6 .\]
Примечание. Полученный результат — лишь оценка, так как световой поток распределён внутри угла дифракции неравномерно.
Похожие задачи
- Компакт-диск и длина волны МОШ 1995/96, 11 кл.
- Разрешающая способность близорукого глаза «Старт в науку» 2023/24, 11 кл.
- Авторские очки «Туймаада» 2009/10, 11 кл.