Влияние влажности на взвешивание

Показания весов зависят от разности архимедовых сил, действующих на образец и на гири. При одинаковом полном давлении во влажном воздухе часть сухого воздуха заменена более лёгким водяным паром.

На образец и гири действует архимедова сила сухого или влажного воздуха в первом и во втором случаях соответственно. Разность показаний весов \(\Delta F\) определяется изменением разности этих сил.

Разность архимедовых сил в сухом воздухе: \[\Delta F_1 = \Delta V\rho_a' g ,\] а во влажном воздухе: \[\Delta F_2 = \Delta V\rho_a'' g ,\] где \(\Delta V\) — разность объёмов образца и гирь, а \(\rho_a'\) и \(\rho_a''\) — плотности сухого и влажного воздуха соответственно.

Тогда разность показаний весов \(\Delta F\) можно записать так: \[\Delta F = \Delta F_1 - \Delta F_2 = \Delta V g\left(\rho_a' - \rho_a''\right). \tag{1}\] По условию задачи эту разность нужно заметить, т. е. \(\Delta F \ge m_0 g\) или \(\Delta V g\left(\rho_a' - \rho_a''\right) \ge m_0\), откуда \[\Delta V \ge \frac{m_0}{\rho_a' - \rho_a''}. \tag{2}\] Разность объёмов алюминиевого образца и латунных гирь можно найти из уравнения \[\Delta V = \frac{m}{\rho_1} - \frac{m}{\rho_2} = m\left(\frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1\rho_2}\right), \tag{3}\] где \(m\) — искомая масса образца. Из выражений (2) и (3) получаем \[m = \Delta V\left(\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_2 - \rho_1}\right) \ge \frac{m_0}{\rho_a' - \rho_a''}\left(\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_2 - \rho_1}\right). \tag{4}\] Чтобы найти массу \(m\) образца, нужно определить разность \(\left(\rho_a' - \rho_a''\right)\). При одинаковом полном давлении во втором случае часть сухого воздуха заменена паром: \[\rho_a' - \rho_a'' = \frac{\Delta m_a}{V} - \frac{\Delta m_v}{V}.\] Изменения массы воздуха \(\Delta m_a\) и пара \(\Delta m_v\) можно найти из уравнения состояния идеального газа: \[\Delta m_a = \frac{P_a V M_a}{RT}, \qquad \Delta m_v = \frac{P_v V M_v}{RT},\] откуда получаем \[\rho_a' - \rho_a'' = \frac{P_a\left(M_a - M_v\right)}{RT}. \tag{5}\] Из уравнений (4) и (5) получаем \[m \ge \frac{m_0 RT}{P_a\left(M_a - M_v\right)}\left(\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_2 - \rho_1}\right). \tag{6}\] Подстановка численных значений даёт ответ: \(m \ge 0{,}0432\text{ кг} \approx 43\text{ г}\).

Примечание. Записывая выражение (3), мы считали массу образца равной массе гирь, допуская при этом небольшую погрешность.

Можно выбрать и другой способ решения этой задачи. Вычислим изменение архимедовой силы через изменение средней молярной массы воздуха.

В сухом воздухе условие равновесия образца и гирь можно записать в виде \[\left(\rho_1 - \frac{M_a P}{RT}\right)V_1 = \left(\rho_2 - \frac{M_a P}{RT}\right)V_2 . \tag{7}\] Во влажном воздухе его молярная масса равна \[M = M_a\frac{P_a}{P} + M_v\frac{P - P_a}{P}, \tag{8}\] а условие обнаружения разницы показаний весов можно записать в виде \[\left(\rho_1 - \frac{M_a P}{RT}\right)V_1 - \left(\rho_2 - \frac{M_a P}{RT}\right)V_2 \ge m_0 . \tag{9}\]

Из выражений (7)–(9) можно получить более точный ответ \[m \ge \frac{m_0 RT\rho_1\rho_2 - M_a P_a}{\left(M_a - M_v\right)\left(\rho_2 - \rho_1\right)P_a}. \tag{10}\] Так как \(M_a P_a \ll m_0\rho_1\rho_2 RT\), оба выражения (6) и (10) приводят практически к одному и тому же количественному результату, т. е. \(m \ge 43\text{ г}\).