На Луну!

В обоих случаях после включения двигателя ракета движется по эллипсу с фокусом в центре Луны: запишите законы сохранения энергии и момента импульса для точки включения и точки касания поверхности. Массу топлива найдите из закона сохранения импульса для системы «ракета — топливо».

1) При движении ракеты по круговой орбите её центростремительное ускорение создаётся силой притяжения Луны: \[G\frac{MM_M}{R^2} = \frac{Mv_0^2}{R},\] где \(R = R_M + h\) — радиус исходной орбиты, \(v_0\) — скорость ракеты на круговой орбите: \[v_0 = \sqrt{G\frac{M_M}{R}}.\] Так как \(g_M = G\dfrac{M_M}{R_M^2}\), получаем \[v_0 = \sqrt{\frac{g_M R_M^2}{R}} = R_M\sqrt{\frac{g_M}{R_M + h}}. \tag{1}\] После того как тормозной двигатель сообщит ракете импульс по касательной, скорость ракеты останется перпендикулярной радиусу-вектору \(OA\) (рис. 1). Затем ракета должна двигаться по эллиптической траектории с фокусом в центре Луны.

Обозначив скорости ракеты в точках \(A\) и \(B\) через \(v_A\) и \(v_B\), можно записать уравнения законов сохранения энергии и момента импульса: \[\frac{Mv_A^2}{2} - G\frac{MM_M}{R} = \frac{Mv_B^2}{2} - G\frac{MM_M}{R_M}, \tag{2}\] \[Mv_A R = Mv_B R_M . \tag{3}\] Решая совместно уравнения (2) и (3), находим \[v_A = \sqrt{2G\frac{M_M R_M}{R(R + R_M)}}.\] С учётом (1) получаем \[v_A = v_0\sqrt{\frac{2R_M}{R + R_M}}.\] Таким образом, изменение скорости ракеты \(\Delta v\) в точке \(A\) должно составлять \[\Delta v = v_0 - v_A = v_0\left(1 - \sqrt{\frac{2R_M}{R + R_M}}\right) = v_0\left(1 - \sqrt{\frac{2R_M}{2R_M + h}}\right) = 24\text{ м/с}.\] Так как двигатель включается на короткое время, закон сохранения импульса для системы «ракета — топливо» можно записать в виде \[(M - m_1)\Delta v = m_1 u,\] где \(m_1\) — масса сгоревшего топлива. Отсюда \[m_1 = \frac{\Delta v}{u + \Delta v}.\]

Учитывая, что \(\Delta v \ll u\), находим \[m_1 \approx \frac{\Delta v}{u}M = 29\text{ кг}.\]

2) Во втором случае вектор \(\Delta\vec v_2\) направлен перпендикулярно вектору \(\vec v_0\), что даёт \[\vec v_A = \vec v_0 + \Delta\vec v_2, \qquad v_A = \sqrt{v_0^2 + \Delta v_2^2}.\] По закону сохранения энергии в этом случае можно записать уравнение \[\frac{M\left(v_0^2 + \Delta v_2^2\right)}{2} - \frac{GMM_M}{R} = \frac{Mv_C^2}{2} - \frac{GMM_M}{R_M}, \tag{4}\] а из закона сохранения момента импульса \[Mv_0 R = Mv_C R_M . \tag{5}\] Решая совместно уравнения (4) и (5) и учитывая (1), находим \[\Delta v_2 = \sqrt{g_M\frac{(R - R_M)^2}{R}} = h\sqrt{\frac{g_M}{R_M + h}} \approx 97\text{ м/с}.\] С помощью закона сохранения импульса получаем \[m_2 = \frac{\Delta v_2}{u}M \approx 116\text{ кг}.\]