Встреча на орбите

Станция после толчка тоже меняет орбиту (она тормозится). Две орбиты с общим фокусом, касающиеся в точке отделения, больше нигде не пересекаются, поэтому встреча возможна только в точке отделения. Сколько оборотов успеет сделать станция за период спутника?

\(\dfrac{m}{M}\approx 0{,}048\) (станция за это время делает \(10\) оборотов) или \(\dfrac{m}{M}\approx 0{,}15\) (\(11\) оборотов).

Что происходит. Катапультирование — внутренний процесс системы «станция + спутник», он быстрый, поэтому импульс системы вдоль касательной к орбите сохраняется. Спутник разгоняется и уходит на эллипс с перигеем в точке отделения \(P\) и апогеем \(10R\). Станция при этом тормозится и тоже уходит с круговой орбиты: на эллипс, для которого \(P\) — апогей. Две орбиты имеют общий фокус (центр Земли) и касаются друг друга в точке \(P\), других общих точек у них нет. Значит, встретиться тела могут только в точке \(P\): спутник вернётся туда за свой период \(T_{\text{сп}}\), станция — за \(T_{\text{ст}}\), и встреча произойдёт, если \(T_{\text{сп}}=k\,T_{\text{ст}}\), где \(k\) — целое число оборотов станции.

Обозначения. \(r_1=1{,}25R\) — радиус исходной круговой орбиты, \(v_0\) — скорость на ней и \(T_0\) — период; \(v_1\), \(u\) — скорости спутника и станции сразу после отделения; \(a_{\text{ст}}\) — большая полуось новой орбиты станции; \(\mu=\dfrac mM\).

1. Скорость спутника. На исходной орбите \(v_0^2=\dfrac{GM_{\text{З}}}{r_1}\) (сила тяготения создаёт центростремительное ускорение). Эллипс спутника имеет перигей \(r_1\) и апогей \(r_a=10R=8r_1\). В перигее и апогее скорость перпендикулярна радиусу, поэтому закон сохранения момента импульса спутника: \(v_1r_1=v_ar_a\); закон сохранения энергии спутника в поле тяготения Земли между перигеем и апогеем: \(\dfrac{v_1^2}{2}-\dfrac{GM_{\text{З}}}{r_1}=\dfrac{v_a^2}{2}-\dfrac{GM_{\text{З}}}{r_a}\). Отсюда \[v_1^2=\frac{2GM_{\text{З}}\,r_a}{r_1\,(r_1+r_a)}=v_0^2\cdot\frac{2\cdot 8}{9},\qquad v_1=\frac43\,v_0 .\]

2. Период спутника. Большая полуось его орбиты \(a_{\text{сп}}=\dfrac{r_1+r_a}{2}=4{,}5\,r_1\). По третьему закону Кеплера \[\frac{T_{\text{сп}}}{T_0}=\left(\frac{a_{\text{сп}}}{r_1}\right)^{3/2}=4{,}5^{3/2}\approx 9{,}55 .\]

3. Скорость станции. Закон сохранения импульса системы вдоль касательной за время толчка (сила тяжести за это короткое время импульс практически не меняет): \((M+m)\,v_0=m\,v_1+M\,u\). Откуда \(u=v_0\left(1-\dfrac{\mu}{3}\right)\).

4. Орбита станции. Точка \(P\) для станции — апогей (скорость меньше круговой и перпендикулярна радиусу). Энергия на эллиптической орбите: \(\dfrac{u^2}{2}-\dfrac{GM_{\text{З}}}{r_1}=-\dfrac{GM_{\text{З}}}{2a_{\text{ст}}}\), поэтому \[\frac{u^2}{v_0^2}=2-\frac{r_1}{a_{\text{ст}}}.\]

5. Условие встречи. По третьему закону Кеплера \(T_{\text{ст}}=T_0\left(\dfrac{a_{\text{ст}}}{r_1}\right)^{3/2}\), а условие \(T_{\text{сп}}=kT_{\text{ст}}\) даёт \(4{,}5^{3/2}=k\left(\dfrac{a_{\text{ст}}}{r_1}\right)^{3/2}\), то есть \[\frac{a_{\text{ст}}}{r_1}=\frac{4{,}5}{k^{2/3}} .\] Станция потеряла скорость, поэтому \(a_{\text{ст}}<r_1\): \(k^{2/3}>4{,}5\), то есть \(k\ge 10\).

6. Станция не должна упасть на Землю. Расстояние перигея новой орбиты \(r_{\text{п}}=2a_{\text{ст}}-r_1\) должно превышать \(R\), то есть \(\dfrac{r_{\text{п}}}{r_1}>0{,}8\), \(\dfrac{a_{\text{ст}}}{r_1}>0{,}9\): \(k^{2/3}<5\), откуда \(k<11{,}2\). Остаются \(k=10\) и \(k=11\). Для \(k=10\) перигей \(1{,}17R\), для \(k=11\) — \(1{,}02R\); уже для \(k=12\) он равен \(0{,}90R\), то есть орбита пересекает поверхность Земли.

7. Отношение масс. Из шагов 3 и 4: \(\left(1-\dfrac{\mu}{3}\right)^2=2-\dfrac{k^{2/3}}{4{,}5}\), откуда \[\mu=3\left(1-\sqrt{2-\frac{k^{2/3}}{4{,}5}}\right).\] При \(k=10\): \(k^{2/3}=4{,}64\), \(\sqrt{2-1{,}031}=0{,}984\), \(\mu\approx 0{,}048\). При \(k=11\): \(k^{2/3}=4{,}95\), \(\sqrt{2-1{,}099}=0{,}949\), \(\mu\approx 0{,}15\).

Обратите внимание. Станцию нельзя считать оставшейся на круговой орбите: она тоже получает импульс отдачи и тормозится. Встреча возможна только в точке отделения, так как орбиты, касающиеся в точке \(P\) и имеющие общий фокус, второй раз не пересекаются. Число оборотов станции \(k\) целое и ограничено с двух сторон: сверху — падением на Землю, снизу — условием \(a_{\text{ст}}<r_1\).

Проверка. Размерности не требуются: все величины безразмерные. Предел: при \(\mu\to 0\) станция остаётся на круговой орбите, и \(T_{\text{сп}}/T_0=9{,}55\) — не целое число, встречи нет; наименьшее \(\mu\) получается для ближайшего целого \(k=10\), чем тяжелее спутник, тем сильнее торможение станции и тем больше оборотов она успевает сделать (\(\mu\) растёт с \(k\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.