Опыт Кикоина

В сверхпроводнике поток через катушку не меняется, и растущее поле «разгоняет» электроны по виткам. Когда сверхпроводимость пропадает, электроны тормозятся о решётку. Куда девается их момент импульса?

\(\varphi_{\max}=\dfrac{2\pi^2 m\,n^2R^3B_0}{e\,L\sqrt{GM}}\approx 1{,}2\cdot10^{-4}\) рад.

Что происходит. Сопротивления у сверхпроводящей катушки нет, поэтому полный поток через неё не меняется: растущее внешнее поле наводит ток, собственное поле которого точно компенсирует рост внешнего потока. Электроны проводимости при этом движутся по виткам и имеют момент импульса относительно оси катушки. Когда сверхпроводимость исчезает, электроны тормозятся на решётке и передают ей весь свой момент импульса: катушка получает толчок вокруг вертикальной оси и закручивает нить, как крутильный маятник. Максимальный угол найдём по энергии маятника.

Обозначения. \(S=\pi R^2\) — площадь витка; \(\ell=2\pi Rn\) — длина проволоки; \(N_e\) — число электронов проводимости в проволоке; \(v\) — скорость их упорядоченного движения; \(m\) — масса электрона; \(J=MR^2\) — момент инерции катушки (вся масса тонкой проволоки находится на расстоянии \(R\) от оси).

1. Ток в сверхпроводящей катушке. Для замкнутого контура без сопротивления ЭДС индукции полностью уравновешена самоиндукцией, поэтому потокосцепление, равное сумме потока внешнего поля и потока собственного поля тока, остаётся неизменным, как в начальный момент (там оно равно нулю): \[L I+nSB=0\quad\Rightarrow\quad |I|=\frac{n\pi R^2B}{L}.\] При \(B=B_0\) ток достигает \(I_0=\dfrac{n\pi R^2B_0}{L}=\dfrac{100\cdot 3{,}14\cdot10^{-4}\cdot 0{,}1}{3\cdot10^{-5}}\approx 105\) А. По правилу Ленца поле тока направлено против растущего внешнего: при взгляде сверху ток идёт по часовой стрелке, электроны — против неё.

2. Момент импульса электронов. Сила тока равна заряду, проходящему через сечение за секунду: \(I=\dfrac{eN_ev}{\ell}\) (в проволоке длины \(\ell\) всего \(N_e\) электронов, и все дрейфуют со скоростью \(v\)). Витки пологие, поэтому скорость электрона почти касательна к окружности радиуса \(R\), и его момент импульса относительно оси равен \(mvR\). Для всех электронов \[L_e=N_emvR=\frac{m}{e}\,I\,\ell\,R=\frac{m}{e}\cdot 2\pi nR^2\,I_0=\frac{2\pi^2 m\,n^2R^4B_0}{e\,L}.\]

3. Передача момента импульса катушке. Пока поле растёт медленно (за время, много большее периода крутильных колебаний, оценённого ниже), нить успевает уравновешивать нарастающий момент импульса электронов, поэтому катушка почти не поворачивается и своего момента импульса не имеет (при росте поля за минуту её угол — единицы \(10^{-6}\) рад, существенно меньше искомого). Когда сверхпроводимость исчезает, ток спадает за ничтожное время. Применяем закон сохранения момента импульса системы «решётка + электроны» относительно оси катушки за это время: момент силы упругости нити за него не успевает набрать значимой величины, а сила электрического индукционного поля действует на электроны и ионы решётки с равными и противоположными моментами, так что суммарно не меняет их общий момент импульса. Следовательно, решётка (то есть вся катушка) получает момент импульса \(L_e\) и угловую скорость \[\omega_0=\frac{L_e}{J}.\]

4. Закручивание нити. Нить с катушкой — крутильный маятник: \(J\ddot\varphi=-G\varphi\), период \(T=2\pi\sqrt{J/G}\). Максимальный угол найдём из закона сохранения энергии (кинетическая энергия вращения катушки переходит в энергию упругой деформации нити): \[\frac{J\omega_0^2}{2}=\frac{G\varphi_{\max}^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi_{\max}=\omega_0\sqrt{\frac{J}{G}}=\frac{L_e}{\sqrt{GJ}}=\frac{2\pi^2 m\,n^2R^3B_0}{e\,L\sqrt{GM}} .\]

5. Числа. \(J=MR^2=0{,}01\cdot10^{-4}=10^{-6}\) кг\(\cdot\)м\(^2\); \(\ell=2\pi\cdot 0{,}01\cdot100\approx 6{,}28\) м; \(L_e=\dfrac{1}{1{,}76\cdot10^{11}}\cdot 105\cdot 6{,}28\cdot 0{,}01\approx 3{,}7\cdot10^{-11}\) кг\(\cdot\)м\(^2\)/с; \(\sqrt{GJ}=\sqrt{10^{-7}\cdot10^{-6}}\approx 3{,}2\cdot10^{-7}\). Тогда \[\varphi_{\max}=\frac{3{,}7\cdot10^{-11}}{3{,}2\cdot10^{-7}}\approx 1{,}2\cdot10^{-4}\text{ рад}\approx 0{,}007^\circ .\] Катушка совершает колебания \(\varphi(t)=\varphi_{\max}\sin\omega t\) с периодом \(T\approx 20\) с вокруг прежнего положения нити.

Обратите внимание. Потокосцепление катушки равно \(L I\) (индуктивность уже учитывает все \(n\) витков); внешний поток через катушку — \(nSB\), а не \(SB\). Момент импульса отдаёт электронный газ, а решётка принимает: катушка поворачивается в ту сторону, в которую двигались электроны (против направления тока). Масса катушки в расчёте нужна лишь для момента инерции \(J=MR^2\).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{m}{e}\,[\text{кг/Кл}]\cdot I\,[\text{А}]\cdot \ell R\,[\text{м}^2]=\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}\) — это момент импульса (А \(=\) Кл/с). Для \(\varphi_{\max}\): \(L_e/\sqrt{GJ}\) — кг\(\cdot\)м\(^2\)/с делим на \(\sqrt{\text{Н}\cdot\text{м}\cdot\text{кг}\cdot\text{м}^2}=\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}\) — безразмерно. Предел: \(B_0\to 0\) даёт \(\varphi_{\max}\to 0\). Порядок величины: угол в тысячные доли градуса.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.