Сверхпроводящая сетка

Подсказка

Сверхпроводящая сетка не пускает изменение магнитного потока через свои отверстия, так что в её плоскости остаётся прежней нормальная составляющая поля. Это граничная задача: подберите два диполя-изображения за сеткой, которые сохранят поле в плоскости, и найдите силу между диполем и изображениями.

Ответ

\(F=\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi}\left[\dfrac{1}{16\,b^4}-\dfrac{1}{(a+b)^4}\right]\); при \(b<a\) диполь отталкивается от сетки (\(F>0\)), при \(b>a\) притягивается; при \(b=a\) сила равна нулю, а при \(b=a+\delta\), \(\delta\ll a\): \(F\approx-\dfrac{3\mu_0m^2}{16\pi a^5}\,\delta\).

Решение

Что происходит. Сверхпроводящий контур сохраняет магнитный поток через себя. Каждое отверстие сетки окружено сверхпроводником, поэтому при переходе сетки в сверхпроводящее состояние поток через каждое отверстие замораживается и дальше не меняется, что бы мы ни делали с диполем. Отверстия много меньше расстояний \(a\) и \(b\), так что можно говорить о нормальной (перпендикулярной сетке) составляющей поля \(B_z\) в плоскости сетки как о заданной функции координат: она равна той, которую создавал диполь на расстоянии \(a\). Поле над сеткой при этом определяется заданной нормальной составляющей в плоскости — это граничная задача, которую решает метод изображений. Идея решения: подобрать за сеткой воображаемые диполи, которые вместе с настоящим диполем дадут в плоскости сетки прежнюю нормальную составляющую поля, и найти силу как силу взаимодействия диполя с ними.

Обозначения. Ось \(z\) перпендикулярна сетке, начало — в её плоскости, диполь находится выше сетки. Его момент направлен вдоль \(-z\) (к сетке). \(\rho\) — расстояние от оси в плоскости сетки. \(B_z^{(d)}(\rho)\) — нормальная составляющая поля в плоскости сетки от диполя \(m\), расположенного на оси на расстоянии \(d\) от неё.

Рис. 1. Диполь до охлаждения (серый, расстояние \(a\)) и после смещения (расстояние \(b\); для определённости \(b<a\)). Стрелка — направление дипольного момента.

1. Что остаётся неизменным. До охлаждения в плоскости сетки была нормальная составляющая поля \(B_z^{(a)}(\rho)\) диполя на расстоянии \(a\). После охлаждения поток через каждое отверстие не меняется, поэтому в плоскости сетки при любом положении диполя \[B_z(\rho)=B_z^{(a)}(\rho).\]

2. Какие диполи-изображения нужны. Поле диполя, направленного вдоль оси \(z\), обладает свойством: \(B_z\) зависит только от \(\rho\) и \(z^2\), то есть чётна по \(z\). Поэтому диполь с тем же моментом на расстоянии \(d\) по любую сторону плоскости создаёт в ней одну и ту же функцию \(B_z^{(d)}(\rho)\); диполь с противоположным моментом — функцию \(-B_z^{(d)}(\rho)\).

Рис. 2. Диполь на расстоянии \(b\) над сеткой и два воображаемых диполя за сеткой (бирюзовые): момент \(\vec m\) на расстоянии \(a\) и момент \(-\vec m\) на расстоянии \(b\).

Настоящий диполь на расстоянии \(b\) создаёт в плоскости \(B_z^{(b)}\). Нужно получить суммарно \(B_z^{(a)}\), поэтому добавляем за сеткой два диполя:

• изображение 1 — тот же момент \(\vec m\) на расстоянии \(a\) за сеткой: оно создаёт \(B_z^{(a)}\);

• изображение 2 — момент \(-\vec m\) на расстоянии \(b\) за сеткой: оно создаёт \(-B_z^{(b)}\) и гасит вклад настоящего диполя.

В сумме в плоскости получаем \(B_z^{(b)}+B_z^{(a)}-B_z^{(b)}=B_z^{(a)}\), как и требуется. Над сеткой поле определяется своим граничным значением нормальной составляющей и убыванием на бесконечности однозначно, поэтому поле над сеткой совпадает с полем настоящего диполя и этих двух изображений; сила на диполь — сила от поля изображений.

Обратите внимание: если бы сетка охлаждалась, когда диполя рядом нет, поток был бы нулевым, и нужно было бы только изображение 2 — как для диполя над сверхпроводящей плоскостью. Здесь же при охлаждении поток уже был, и изображение 1 обязательно.

3. Сила между двумя соосными диполями. Поле диполя можно получить из пары магнитных полюсов \(+q_m\) и \(-q_m\) на расстоянии \(d\) друг от друга, \(m=q_md\) (рис. 3). Точка \(P\) лежит на оси на расстоянии \(x\gg d\) от ближайшего полюса. Поле двух полюсов вдоль оси: \[B=\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\left[\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+d)^2}\right] \approx\frac{\mu_0q_m}{4\pi}\cdot\frac{2d}{x^3}=\frac{\mu_0\,m}{2\pi x^3},\] где использовано \((x+d)^{-2}\approx x^{-2}(1-2d/x)\). Поле направлено вдоль момента диполя.

Рис. 3. Диполь \(\vec m\) как пара полюсов \(\pm q_m\) и точка \(P\) на его оси.

Второй диполь, момент которого параллелен оси, лежит на ней на расстоянии \(x\) от первого. Пусть \(\mu_1\) и \(\mu_2\) — проекции их моментов на общую ось. Энергия второго диполя в поле первого \[U=-\mu_2B=-\frac{\mu_0\mu_1\mu_2}{2\pi x^3}.\] Сила, отталкивающая второй диполь от первого (вдоль \(x\), от первого диполя): \[F_x=-\frac{dU}{dx}=-\frac{3\mu_0\mu_1\mu_2}{2\pi x^4}.\] Она отрицательна (притяжение), если моменты направлены одинаково (\(\mu_1\mu_2>0\)), и положительна (отталкивание), если противоположно.

4. Сила на диполь. Положение настоящего диполя — \(z=b\). Проекции моментов на ось \(z\): у настоящего диполя \(\mu=-m\), у изображения 1 \(\mu_1=-m\), у изображения 2 \(\mu_2=+m\). Расстояния от настоящего диполя до изображений: \(x_1=a+b\) и \(x_2=2b\); оба изображения лежат ниже, так что <<от изображения>> означает направление \(+z\). Сила от изображения 1 — притяжение, \(\mu\mu_1=m^2>0\): \[F_{1}=-\frac{3\mu_0m^2}{2\pi(a+b)^4}.\] Сила от изображения 2 — отталкивание, \(\mu\mu_2=-m^2<0\): \[F_{2}=+\frac{3\mu_0m^2}{2\pi(2b)^4}=\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\frac{1}{16b^4}.\] Сложим: \[F=F_1+F_2=\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\left[\frac{1}{16\,b^4}-\frac{1}{(a+b)^4}\right].\] Знак \(F>0\) означает отталкивание диполя от сетки, \(F<0\) — притяжение. Условие \(F>0\) равносильно \(2b<a+b\), то есть \(b<a\): диполь, придвинутый ближе исходного положения, отталкивается, отодвинутый — притягивается. На сетку действует такая же по модулю сила в противоположном направлении.

Рис. 4. Сила как функция \(b/a\) и два её слагаемых (от изображения 2 — положительное, от изображения 1 — отрицательное). Сила обращается в нуль при \(b=a\); при \(b>a\) притяжение слабое, наибольшее, \(0{,}014\cdot\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi a^4}\), при \(b\approx 1{,}35\,a\).

5. Малое смещение. Пусть \(b=a+\delta\), \(\delta\ll a\). Разложим слагаемые по \(\delta/a\): \(\dfrac{1}{16(a+\delta)^4}\approx\dfrac{1}{16a^4}\left(1-\dfrac{4\delta}{a}\right)\), \(\dfrac{1}{(2a+\delta)^4}\approx\dfrac{1}{16a^4}\left(1-\dfrac{2\delta}{a}\right)\). Разность в скобках: \(\dfrac{1}{16a^4}\left(-\dfrac{4\delta}{a}+\dfrac{2\delta}{a}\right)=-\dfrac{\delta}{8a^5}\). Тогда \[F\approx-\frac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\frac{\delta}{8a^5}=-\frac{3\mu_0m^2}{16\pi a^5}\,\delta .\] Знак минус: при \(\delta>0\) (диполь отодвинули от сетки) сила направлена к сетке, при \(\delta<0\) — от неё, то есть сила возвращающая.

Проверка. Размерность: энергия взаимодействия \(\mu_0m^2/x^3\) — \(\text{Н/А}^2\cdot\text{А}^2\text{м}^4/\text{м}^3=\text{Н}\cdot\text{м}\), значит \(\mu_0m^2/x^4\) — ньютоны. Предел \(b=a\): изображения гасят друг друга (одинаковые по модулю и противоположные по знаку моменты на одном расстоянии \(a\) от сетки), сила равна нулю — положение диполя такое же, как при охлаждении, и ничего не должно меняться. Второй способ — предел \(a\to\infty\): тогда при охлаждении поток через сетку был нулевым, и должна получиться известная сила отталкивания диполя от сверхпроводящей плоскости; из формулы \(F\to\dfrac{3\mu_0m^2}{2\pi}\cdot\dfrac{1}{16b^4}=\dfrac{3\mu_0m^2}{32\pi b^4}\) — это сила взаимодействия диполя с одним изображением \(-m\) на расстоянии \(2b\). Смысл результата: смещение диполя от положения, где он был при охлаждении, вызывает возвращающую силу, линейную по смещению, и малые отклонения диполя дают гармонические колебания около \(b=a\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.