Колебания висящей верёвки

В основном колебании верёвка почти прямая, так что она качается как жёсткий стержень на оси подвеса. В пункте b часть верёвки ниже неподвижного узла колеблется как целая верёвка меньшей длины, подвешенная в этом узле.

a) \(f_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L}}\approx 0{,}61\) Гц;  b) \(f_1:f_2:f_3\approx 1:2{,}2:3{,}5\).

Что происходит. Верёвка возвращается к вертикали под действием силы тяжести: при боковом отклонении натяжение, равное весу нижней части, тянет каждый участок обратно. Масса верёвки входит и в инерцию, и в силу тяжести и сокращается, поэтому любая собственная частота определяется только \(g\) и \(L\). Идея пункта a — в основном колебании верёвка почти прямая, значит, её можно заменить жёстким однородным стержнем, качающимся около точки подвеса, то есть физическим маятником. Идея пункта b — точка верёвки, которая в данном колебании не движется (узел), играет роль неподвижной точки подвеса для всей части ниже неё: эта часть колеблется как целая верёвка меньшей длины.

Обозначения. \(m\) — масса верёвки, \(L\) — длина, \(O\) — точка подвеса, \(A\) и \(B\) — верхний (точка подвеса) и нижний (свободный) концы верёвки, \(C\) — центр масс, \(\varphi\) — угол отклонения от вертикали, \(z\) — расстояние от потолка вниз.

a) Основное колебание как колебание физического маятника.

Рис. 2. Жёсткий однородный стержень на оси \(O\): центр масс \(C\) находится на расстоянии \(b=L/2\) от оси.

Для основного колебания на рис. 1 кривизна верёвки мала: наибольшее отклонение формы от прямой — около десятой доли смещения нижнего конца (рис. 3). Поэтому заменяем верёвку однородным жёстким стержнем длиной \(L\), закреплённым в точке \(O\) (рис. 2).

Рис. 3. Форма верёвки в основном колебании (чёрная, по рис. 1) и прямой стержень с тем же смещением нижнего конца (бирюзовая). Масштабы по горизонтали и по вертикали разные.

Запишем уравнение вращения стержня вокруг неподвижной оси \(O\). Момент силы тяжести относительно \(O\) — единственный момент, возвращающий стержень к вертикали (сила реакции оси проходит через \(O\) и момента не создаёт); сила тяжести приложена в центре масс, \(b=L/2\): \[I\ddot\varphi=-mgb\sin\varphi .\] Колебания малые, \(\sin\varphi\approx\varphi\): \[\ddot\varphi+\frac{mgb}{I}\,\varphi=0 ,\qquad \omega^2=\frac{mgb}{I}.\] Момент инерции стержня относительно оси через конец найдём, разбив его на элементы длиной \(dz\) и массой \(\dfrac{m}{L}\,dz\) на расстоянии \(z\) от оси: \[I=\int_0^L \frac{m}{L}\,z^2\,dz=\frac{mL^2}{3}.\] Подставим \(b=L/2\): \[\omega^2=\frac{mg\,L/2}{mL^2/3}=\frac{3g}{2L},\qquad f_1=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{2L}} .\] Числа: \(\omega=\sqrt{\dfrac{3\cdot 9{,}8}{2\cdot 1{,}0}}\approx 3{,}83\) с\(^{-1}\), откуда \[f_1=\frac{3{,}83}{2\pi}\approx 0{,}61~\text{Гц},\qquad T_1=\frac{1}{f_1}\approx 1{,}6~\text{с}.\] В официальном решении под корнем напечатано \(2L/3g\), а период записан без множителя \(2\pi\) — это опечатки: число \(0{,}61\) Гц там соответствует нашей формуле.

Обратите внимание: модель годится, только пока верёвка почти не изогнута. Для вторых и третьих колебаний на рис. 1 есть узлы и изгибы, и жёсткий стержень их не опишет — поэтому в пункте b нужен другой приём.

Проверка a. Размерность: \(\sqrt{g/L}\) имеет размерность с\(^{-1}\). Предел: чем длиннее верёвка, тем ниже частота, как у любого маятника. Второй способ — точное решение уравнения колебаний верёвки, в котором форма выражается функцией Бесселя \(J_0\!\bigl(2\omega\sqrt{s/g}\bigr)\), где \(s\) — расстояние от свободного конца. Условие \(J_0=0\) в точке подвеса \(s=L\) даёт \(\omega=j_{01}\sqrt{g/L}/2\), \(j_{01}=2{,}405\), то есть \(f_1=0{,}599\) Гц при \(L=1{,}0\) м. Модель стержня даёт на 2 % больше: запрет на изгиб добавляет жёсткости системе, а такое ограничение только повышает частоту.

b) Отношение частот по узлам.

Размерность. Частота \(f_k\) собственного колебания номер \(k\) определяется величинами \(g\) (размерность м/с\(^2\)) и \(L\) (м); масса не может входить ни в какую комбинацию, иначе в размерности останутся килограммы. Единственная комбинация с размерностью с\(^{-1}\) — \(\sqrt{g/L}\), остаётся безразмерный множитель \(c_k\), зависящий только от номера колебания: \[f_k=c_k\sqrt{\frac{g}{L}} .\] Для верёвок разной длины в колебании с одним и тем же номером \(k\) получаем \[\frac{f_k(\ell)}{f_k(L)}=\sqrt{\frac{L}{\ell}} .\]

Часть верёвки ниже узла. В \(k\)-м колебании есть \(k-1\) узлов — точек, которые в приближении малых колебаний не смещаются. Рассмотрим часть верёвки ниже верхнего узла \(N\). Верхняя часть действует на неё только в точке \(N\), а эта точка неподвижна, так что нижняя часть — верёвка длиной \(L-NA\), подвешенная в неподвижной точке: та же самая задача с меньшей длиной. У неё одна и та же частота, а число узлов на единицу меньше, чем у всей верёвки; значит, это колебание номера \(k-1\): \[f_k(L)=f_{k-1}(L-NA).\] Объединим с отношением для разных длин: \[\frac{f_k(L)}{f_{k-1}(L)}=\frac{f_{k-1}(L-NA)}{f_{k-1}(L)}=\sqrt{\frac{L}{L-NA}} .\]

Рис. 4. Второе колебание: узел \(N\) неподвижен, и часть \(NB\) (справа, бирюзовая) колеблется как основное колебание верёвки длиной \(L-NA\), подвешенной в точке \(N\).

Второе колебание. На рис. 1 (середина) верёвка пересекает ось нулевого смещения на расстоянии \(NA\approx 0{,}8\) м от потолка, \(L=1\) м: \[\frac{f_2}{f_1}=\sqrt{\frac{L}{L-NA}}=\sqrt{\frac{1{,}0}{0{,}2}}\approx 2{,}2 .\]

Рис. 5. Третье колебание: узлы \(N_1\) и \(N_2\). Часть ниже \(N_1\) (справа) — второе колебание верёвки длиной \(L-N_1A\); ниже \(N_2\) — основное колебание ещё более короткой верёвки.

Третье колебание. Верхний узел \(N_1\) на рис. 1 (справа) лежит на расстоянии \(N_1A\approx 0{,}6\) м от потолка. Ниже него лежит ещё один узел, так что часть ниже \(N_1\) колеблется во втором колебании верёвки длиной \(L-N_1A\approx 0{,}4\) м (рис. 5): \[\frac{f_3}{f_2}=\sqrt{\frac{1{,}0}{0{,}4}}\approx 1{,}6 .\] Перемножим отношения: \[\frac{f_3}{f_1}=\frac{f_3}{f_2}\cdot\frac{f_2}{f_1}\approx 1{,}58\cdot 2{,}24\approx 3{,}5 .\] Получаем \(f_1:f_2:f_3\approx 1:2{,}2:3{,}5\).

Обратите внимание: рассуждение применимо именно к части ниже узла. Верхняя часть над узлом подвешена не к неподвижной точке, а к потолку, и снизу на неё действует натяжение нижней части, так что подобия с короткой верёвкой для неё нет.

Проверка b. Отношения безразмерны. Второй способ — взять нижний узел \(N_2\), ниже которого узлов нет: часть ниже него — основное колебание верёвки длиной \(L-N_2A\), откуда \(f_3/f_1=\sqrt{L/(L-N_2A)}\). При \(N_2A\approx 0{,}92\) м получаем \(\sqrt{1/0{,}08}\approx 3{,}5\), то же, что и по цепочке; сам узел \(N_2\) на рисунке прочитать труднее, поэтому в расчёте использован \(N_1\). Точное решение через нули \(j_{0k}=2{,}405;\ 5{,}520;\ 8{,}654\) даёт \(f_1:f_2:f_3=1:2{,}30:3{,}60\); наш результат отличается на 3 % и 2 %, что соответствует точности чтения узлов с рисунка (сдвиг \(NA\) на \(0{,}02\) м меняет \(f_2/f_1\) на \(0{,}1\)). Физический смысл: узлы собираются к нижнему концу, а колеблющиеся нижние куски становятся всё короче, и чем короче верёвка, тем выше её частота.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.