Диск в газе

Давление на грань — это число ударов молекул в секунду, умноженное на импульс, который передаёт одна молекула. Число ударов у граней одинаково, а импульс молекулы, улетающей с горячей грани, во много раз больше. Диск перестанет разгоняться, когда догонять горячую грань смогут лишь редкие быстрые молекулы.

\(a_0\approx\dfrac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}\) (до множителя порядка единицы; ускорение направлено от горячей грани к изолированной);  \(v_{\max}\approx\sqrt{\dfrac{k_BT_0}{m}}\).

Что происходит. Газ настолько разрежен, что молекулы летят свободно и бьются о диск поодиночке; давление на грань есть отдача от этих ударов. Две грани различаются температурой отлетающих молекул. От изолированной грани молекулы отскакивают упруго, с прежней скоростью. С грани в хорошем тепловом контакте они вылетают со скоростью, соответствующей температуре диска \(T_1\), то есть намного большей. Число падающих молекул на обеих гранях одинаково, поэтому давление на горячую грань больше, и диск толкает в сторону изолированной грани. Идея оценки — давление равно потоку молекул, умноженному на передаваемый импульс. Разгон прекращается, когда скорость диска сравнивается с тепловой скоростью холодного газа: горячая грань убегает от молекул, и поток на неё резко падает.

Обозначения. \(n=\rho/m\) — концентрация молекул газа; \(v_0=\sqrt{k_BT_0/m}\) — характерная тепловая скорость молекул холодного газа; \(v_{x0}\) — составляющая скорости падающей молекулы вдоль нормали к диску; \(v_{x1}\) — такая же составляющая скорости молекулы, улетающей с горячей грани; \(P_0\) и \(P_1\) — давления на изолированную и горячую грани. Ось \(x\) направлена от горячей грани к изолированной. Массу атома диска считаем порядка \(m\) (\(M\approx Nm\)). Все численные множители порядка единицы в оценке не уточняем.

Рис. 1. Удары молекул о диск (длины стрелок не в масштабе). Слева — горячая грань: молекула падает медленно, улетает быстро. Справа — теплоизолированная грань: скорость молекулы не меняется. \(P_1S\gg P_0S\), ускорение \(\vec a_0\) направлено вправо.

1. Давление на изолированную грань. Молекула со скоростью \(v_{x0}\) вдоль нормали отражается упруго и передаёт грани импульс \(2mv_{x0}\). Число ударов за единицу времени на единицу площади (поток) пропорционально \(nv_{x0}\). Давление — поток, умноженный на передаваемый импульс, усреднённый по молекулам: \[P_0\sim nv_{x0}\cdot 2mv_{x0}\sim nm\,\overline{v_{x0}^2}\sim nk_BT_0 ,\] как и должно быть для давления идеального газа.

2. Давление на горячую грань. Падающий поток \(j_0\propto nv_{x0}\) тот же самый: он определяется газом, а не диском. Но молекула, уже побывавшая на горячей грани, улетает с температурой диска, поэтому нормальная составляющая её скорости \(v_{x1}\sim\sqrt{k_BT_1/m}\gg v_{x0}\). Импульс, переданный грани при ударе, — импульс падающей и улетающей молекулы: \[p_1=m(v_{x0}+v_{x1})\approx mv_{x1},\] так как \(T_1=1000\,T_0\) и \(v_{x1}\gg v_{x0}\). Отношение давлений получаем как отношение переданных импульсов при одинаковом потоке: \[\frac{P_1}{P_0}=\frac{p_1}{2mv_{x0}}\sim\frac{v_{x1}}{v_{x0}}\sim\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}\approx 30 , \qquad P_1\sim nk_B\sqrt{T_0T_1}.\]

3. Начальное ускорение. На диск действует сила давления газа на горячую грань, направленная вдоль оси \(x\), и меньшая сила на изолированную грань, направленная против оси \(x\) (рис. 1). Так как \(P_1\gg P_0\), \[F=(P_1-P_0)S\approx Snk_B\sqrt{T_0T_1}.\] Запишем второй закон Ньютона для диска в проекции на ось \(x\) и подставим \(n=\rho/m\): \[a_0=\frac{F}{M}\approx\frac{Snk_B}{M}\sqrt{T_0T_1}=\frac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}.\]

4. Максимальная скорость. Пусть диск уже движется со скоростью \(v\) вдоль оси \(x\). Горячая грань убегает от молекул: догнать её могут лишь молекулы, у которых составляющая скорости вдоль оси \(x\) больше \(v\) (рис. 2). Распределение Максвелла при \(v\gtrsim v_0\) обрезается быстрее экспоненты, поэтому поток на горячую грань резко падает: по расчёту он составляет \(0{,}2\,j_0\) при \(v=v_0\), \(0{,}02\,j_0\) при \(v=2v_0\) и около \(10^{-3}j_0\) при \(v=3v_0\). С грани улетает столько молекул, сколько на неё упало, поэтому вместе с потоком во столько же раз падает и давление \(P_1\). На изолированную грань, наоборот, молекулы налетают со скоростью \(v_x+v\), и давление \(P_0\) растёт.

Начальный перевес \(P_1/P_0\sim\sqrt{T_1/T_0}\approx 30\) снимается уже при \(v\sim v_0\): при \(v=v_0\) давление на горячую грань падает примерно в 5 раз, а на изолированную растёт примерно в 4 раза (рис. 3). Скорость, при которой давления сравниваются, порядка \(v_0\): \[v_{\max}\approx v_0=\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}}.\] Расчёт по распределению Максвелла (рис. 3) даёт \(v_{\max}\approx 0{,}96\,v_0\).

Обратите внимание: если считать \(P_1\) не зависящим от скорости и приравнять его встречному давлению \(P_0\sim\rho v^2\), получится \(v_{\max}\sim v_0\sqrt{T_1/T_0}\approx 30\,v_0\) — это неверно: задолго до такой скорости горячую грань перестают догонять молекулы, и толкать диск становится нечем.

В официальном решении для потока приведены значения \(10^{-3}j_0\) при \(2v_0\) и \(10^{-6}j_0\) при \(3v_0\); они получаются, если мерить скорость в единицах \(\sqrt{2k_BT_0/m}\). На вывод это не влияет.

Рис. 2. Распределение \(f(u)\) молекул газа по скорости \(u\) вдоль оси \(x\). Диск движется со скоростью \(v\) вправо; горячую грань (слева на диске) догоняют только молекулы с \(u>v\) — закрашенный хвост.

Рис. 3. Давление на горячую грань (падающие и улетающие молекулы) и на изолированную грань как функции скорости диска, расчёт по распределению Максвелла при \(T_1=1000\,T_0\). Давления равны в точке \(v_{\max}\approx 0{,}96\,v_0\).

Обратите внимание: предполагаем, что диск при разгоне остаётся горячим, \(T_1\) не меняется. Это нужно проверить — следующий пункт.

5. Диск не успевает остыть. Время разгона \[t_a\approx\frac{v_{\max}}{a_0}=\frac{M}{\rho S}\sqrt{\frac{m}{k_BT_1}}.\] Остывает диск за счёт горячей грани: каждая падающая молекула уносит энергию порядка \(k_BT_1\), поток по порядку величины равен \(nv_0\). Верхняя оценка мощности теплоотвода (она максимальна в начале, когда \(v=0\)) \[P_{\text{тепл}}\approx S\,nv_0\,k_BT_1=Snk_BT_1\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}} .\] Запас тепла \(Q\approx Nk_BT_1=(M/m)k_BT_1\). Время остывания не меньше \[t_c\approx\frac{Q}{P_{\text{тепл}}}=\frac{M}{\rho S}\sqrt{\frac{m}{k_BT_0}} .\] Сравним: \[\frac{t_a}{t_c}\approx\sqrt{\frac{T_0}{T_1}}\approx\frac{1}{30}\ll 1 ,\] так что диск остаётся горячим до тех пор, пока разгонится.

Проверка. Размерность: \(S\rho k_BT/(mM)\) — \(\text{м}^2\cdot\text{кг}/\text{м}^3\cdot\text{Дж}/\text{кг}^2=\text{м}/\text{с}^2\); \(\sqrt{k_BT_0/m}\) — \(\text{м}/\text{с}\). Предел: чем плотнее газ и больше площадь, тем быстрее разгон. Второй способ — точный расчёт в этой модели (газ максвелловский, от изолированной грани молекулы отражаются упруго, с горячей вылетают с распределением Максвелла при температуре \(T_1\)): \(P_0=nk_BT_0\), \(P_1=\dfrac{nk_B}{2}\bigl(T_0+\sqrt{T_0T_1}\bigr)\), откуда \[F=\frac{Snk_B}{2}\bigl(\sqrt{T_0T_1}-T_0\bigr),\qquad a_0=\frac{F}{M}\approx\frac12\cdot\frac{S\rho k_B}{mM}\sqrt{T_0T_1}\quad(T_1\gg T_0).\] Это наша оценка с множителем \(1/2\) — порядка единицы, как и обещано; точная формула ещё и обращается в нуль при \(T_1=T_0\), как должна. Скорость из уравнения \(F(v)=0\) получается \(0{,}96\,v_0\) при \(T_1/T_0=1000\), \(0{,}59\,v_0\) при \(100\) и \(1{,}33\,v_0\) при \(10^4\): она очень слабо зависит от перегрева диска, и \(v_{\max}\approx v_0\) оправдано. Смысл ответа: диск разгоняется до скорости, с которой движется сам холодный газ, а не до скорости горячих молекул.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.