Зонд с микротрещиной

Число атомов, влетающих в полость через малое отверстие, пропорционально концентрации и скорости. Концентрации в атмосфере связаны с парциальными давлениями при одной температуре.

За малое время \(\Delta t\) после образования микротрещины в полость влетает количество атомов гелия \[\Delta N_1 = \frac{1}{6}\,n_1 S v_1\,\Delta t, \quad (1)\] где \(n_1\) — концентрация гелия в атмосфере планеты, \(v_1\) — скорость атомов гелия в атмосфере, \(S\) — площадь микротрещины.

Аналогично находим количество атомов аргона, влетевших в полость за то же самое время, \[\Delta N_2 = \frac{1}{6}\,n_2 S v_2\,\Delta t, \quad (2)\] где \(n_2\) — концентрация аргона в атмосфере планеты, \(v_2\) — скорость атомов аргона в атмосфере.

Так как концентрация атомов в полости \(n_{i\text{п}}\) связана с количеством атомов \(\Delta N_i\) (\(i = 1\) — гелий, \(i = 2\) — аргон) и объёмом полости \(V\) формулой \[n_{i\text{п}} = \frac{\Delta N_i}{V}, \quad (3)\] то отношение концентраций гелия и аргона в полости равно \[\alpha = \frac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{n_1 v_1}{n_2 v_2}. \quad (4)\] Так как по условию все молекулы (атомы) имеют одинаковую кинетическую энергию \(E = \dfrac{3}{2}kT\), то температура газов атмосферы \(T = \text{const}\). Основное уравнение МКТ \(p_i = n_i\dfrac{2}{3}E\) даёт связь парциальных давлений газов \(p_i\) и их концентраций \(n_i\): \[\frac{p_1}{p_2} = \frac{n_1}{n_2}. \quad (5)\] Скорости атомов в атмосфере планеты вычисляются по формуле \(v_i = \sqrt{\dfrac{2E}{m_{i\text{а}}}}\), где масса атома \(m_{i\text{а}} = \dfrac{\mu_i}{N_A}\), или по формуле \(v_i = \sqrt{\dfrac{3RT}{\mu_i}}\); \(\mu_i\) — молярная масса гелия (\(i = 1\)) или аргона (\(i = 2\)).

Тогда \[\alpha = \frac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} = \frac{n_1v_1}{n_2v_2} = \frac{p_1}{p_2}\sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3. \quad (6)\] Примечание. Более точный расчёт даёт в формулах (1) и (2) коэффициент \(1/4\) вместо \(1/6\). Важно понимание того, что отношение концентраций газов в атмосфере не равно отношению концентраций газов в полости: \(\dfrac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} \neq \dfrac{n_1}{n_2}\).