Камень на параболе

Запишите перемещения между точками через начальную скорость в точке \(A\), ускорение \(\vec g\) и неизвестные времена \(\tau_1\) (от \(A\) до \(B\)) и \(\tau_3\) (от \(C\) до \(D\)).

Обозначим время прохождения отрезков \(AB\) и \(BC\) соответственно \(\tau_1\) и \(\tau_3\), скорость камня в точке \(A\) — \(\vec v_0\), тогда скорость камня в точке \(B\) \(\vec v_B = \vec v_0 + \vec g\tau_1\). \[\overrightarrow{AD} = \vec v_0(\tau_1+\tau+\tau_3) + \frac{\vec g(\tau_1+\tau+\tau_3)^2}{2},\] \[\overrightarrow{BC} = \vec v_B\tau + \frac{\vec g\tau^2}{2} = \vec v_0\tau + \vec g\left(\tau_1\tau + \frac{\tau^2}{2}\right).\] По условию \(\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{BC}\), откуда \[\begin{cases} \tau_1 + \tau + \tau_3 = 3\tau,\\[4pt] \dfrac{(\tau_1+\tau+\tau_3)^2}{2} = 3\left(\tau_1\tau + \dfrac{\tau^2}{2}\right). \end{cases}\] Решая написанную выше систему, получим \(\tau_1 = \tau_3 = \tau\).