Азот и кислород

Каждая особенность графика — момент, когда один из газов стал насыщенным паром. Какой из двух газов сжижается раньше и как выглядит давление смеси, пока один из паров насыщен, а второй нет?

\(m_{\text{O}_2}\approx 57\) г; \(p_{\text{нас O}_2}=1{,}5\) усл. ед. \(\approx 25\) кПа (около \(0{,}25\) атм).

Что происходит. Пока оба газа далеки от насыщения, смесь ведёт себя как идеальный газ и \(pV=\text{const}\) (гипербола). Кислород кипит при более высокой температуре, чем азот, значит, при \(77{,}4\) К давление его насыщенных паров меньше. Поэтому при сжатии первым насыщается и начинает конденсироваться кислород (излом на графике при \(V=8\)), а затем азот (горизонтальный участок при \(V\le 4\): и кислород, и азот — насыщенные пары, их давления от объёма не зависят).

Обозначения. \(\nu_1,\nu_2\) — количества вещества азота и кислорода; \(p_{\text{н}1},p_{\text{н}2}\) — давления насыщенных паров азота и кислорода при \(T\). Давление и объём — в условных единицах, нужные нам комбинации \(\nu RT\) получатся в тех же единицах.

1. Область I, \(V>8\). Оба газа ненасыщены. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений, а уравнение Менделеева — Клапейрона для каждого газа даёт \[p=\frac{(\nu_1+\nu_2)RT}{V}.\] По графику \(p=3{,}6\) при \(V=10\) и \(p=4{,}5\) при \(V=8\): \((\nu_1+\nu_2)RT=36\).

2. Область II, \(4<V<8\). Кислород насыщен: часть его уже жидкость, а давление пара кислорода постоянно и равно \(p_{\text{н}2}\). Азот ещё газ: \(p_1=\dfrac{\nu_1RT}{V}\). Полное давление \[p=p_{\text{н}2}+\frac{\nu_1RT}{V}.\] Берём две точки графика: \(V=8\), \(p=4{,}5\) и \(V=4\), \(p=7{,}5\): \[\begin{cases} 4{,}5=p_{\text{н}2}+\nu_1RT/8,\\ 7{,}5=p_{\text{н}2}+\nu_1RT/4. \end{cases}\] Вычитая, получаем \(\nu_1RT/8=3\), \(\nu_1RT=24\), откуда \(p_{\text{н}2}=4{,}5-3=1{,}5\).

3. Область III, \(V<4\). Азот тоже насыщен, оба давления постоянны: \(p=p_{\text{н}1}+p_{\text{н}2}=7{,}5\), значит \(p_{\text{н}1}=6\). Начало конденсации азота при \(V=4\) согласуется с шагом 2: \(\nu_1RT/4=24/4=6\).

4. Масса кислорода. Из шагов 1 и 2: \(\nu_2RT=36-24=12\), значит \(\nu_2=\dfrac{\nu_1}{2}\). Количество азота \(\nu_1=\dfrac{m_1}{\mu_1}=\dfrac{100}{28}\approx 3{,}57\) моль, кислорода — \(\nu_2\approx 1{,}79\) моль, его масса \[m_2=\nu_2\mu_2=\frac{m_1}{2}\cdot\frac{\mu_2}{\mu_1}=50\cdot\frac{32}{28}\text{ г}\approx 57\text{ г}.\]

5. Давление насыщенных паров кислорода. В условных единицах \(p_{\text{н}2}=1{,}5\). Чтобы перевести в паскали, воспользуемся примечанием: при \(77{,}4\) К давление насыщенных паров азота равно нормальному атмосферному, \(p_{\text{н}1}=101\) кПа, а в условных единицах оно равно \(6\). Значит, \(1\) усл. ед. \(=\dfrac{101}{6}\approx 16{,}9\) кПа и \[p_{\text{н}2}=1{,}5\cdot 16{,}9\text{ кПа}\approx 25\text{ кПа}.\]

Обратите внимание. Число \(4{,}5\) в точке излома — полное давление, а не давление насыщенных паров кислорода: в нём есть ещё парциальное давление азота. На участке II кривая не гипербола: к гиперболе азота добавлено постоянное давление пара кислорода. На горизонтальном участке сжимается пар вместе с жидкостями, давление не растёт, пока остаётся жидкость и пар.

Проверка. Условные единицы согласованы с примечанием: азот в количестве \(\nu_1=3{,}57\) моль при насыщении (\(p=101\) кПа, \(T=77{,}4\) К) занимает \(V=\dfrac{\nu_1RT}{p}=\dfrac{3{,}57\cdot 8{,}31\cdot 77{,}4}{1{,}01\cdot 10^5}\approx 22{,}7\) л — это в точности \(4\) усл. ед. объёма (при \(5{,}7\) л в условной единице), как на графике. Полученное \(p_{\text{н}2}\approx 0{,}25\) атм по порядку сходится со справочным значением давления насыщенных паров кислорода при \(77\) К (около \(0{,}2\) атм).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.