Разрешающая способность

Разрешающая способность глаза определяется размером пятна на сетчатке от точечного источника. Выразите оптическую силу хрусталика близорукого глаза через его фокусное расстояние и дефект зрения, а размер пятна найдите из подобия крайних лучей пучка.

Разрешающая способность глаза — минимальный угол \(\alpha_{\min}\) между направлениями на два точечных источника, при котором человек ещё различает их как две точки. Пусть \(x\) — расстояние от хрусталика до сетчатки. Ввиду малости углов двум источникам на угловом расстоянии \(\alpha\) соответствует пара изображений на сетчатке на линейном расстоянии \(\alpha x\) друг от друга.

При неточной фокусировке точечные источники дают на сетчатке светлые пятна размером \(H\). Источники сливаются, если \(\alpha x < H\), поэтому \(\alpha_{\min} = H/x\).

Для фокусировки параллельного пучка от далёких объектов нужна оптическая сила \(D_0 = 1/x\). Близорукому глазу для этого нужна линза с силой \(\Delta\), поэтому реальная оптическая сила хрусталика \(D = D_0 - \Delta = \dfrac{1}{x} - \Delta\), и его фокусное расстояние \[F = \frac{1}{1/x - \Delta} = \frac{x}{1 - x\Delta}.\] Крайние лучи пучка, входящие в зрачок диаметром \(d\), сходятся в точке на расстоянии \(F\) от хрусталика и на сетчатке дают пятно размером \(H\). По подобию \[\frac{H}{d} = \frac{x - F}{F} = \frac{x}{F} - 1 = -x\Delta, \qquad H = -x\Delta\, d.\] Итоговая разрешающая способность \[\alpha_{\min} = \frac{H}{x} = -\Delta\, d = 0{,}008~\text{рад} \approx 0{,}46^\circ.\]