Задачи › Энергия и импульс фотона, эффект Комптона

Мысленный опыт Эйнштейна

  1. Мысленный опыт Эйнштейна

    МОШ 2005/06, 11 кл.
    7/10

    Для обоснования формулы, связывающей массу и энергию, А. Эйнштейн предложил следующий мысленный эксперимент. Два тела с массами \(m_1\) и \(m_2\) находятся на концах лёгкой неподвижной тележки длиной \(L\), которая может свободно перемещаться по горизонтальной поверхности без трения. Одно из тел испускает фотон с частотой \(\omega\), который поглощается вторым телом. Чему будет равна скорость тележки после испускания фотона до его поглощения? А после поглощения фотона? На какое расстояние сместится тележка в рассматриваемом процессе? На какую величину \(\Delta m\) должна уменьшиться масса первого тела и увеличиться масса второго тела, чтобы центр масс системы после поглощения фотона остался на месте? Постоянная Планка равна \(h\), скорость света \(c\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Фотон уносит импульс, и тележка с телами откатывается; когда фотон поглощается, импульс гасится. Положение центра масс не должно измениться — отсюда получится связь массы с энергией.

    Ответ

    \(v_1 = \dfrac{\hbar\omega/c}{m_1 + m_2}\); \(v_2 = 0\); \(\Delta L = \dfrac{\hbar\omega}{c^2}\cdot\dfrac{L}{m_1 + m_2}\); \(\Delta m = \hbar\omega/c^2\).

    Решение

    Поскольку импульс фотона равен \(p = \hbar\omega/c\), после его испускания именно на эту величину изменится суммарный импульс тележки и тел. Поэтому после испускания фотона скорость тележки будет равна \(v_1 = p/(m_1 + m_2) = (\hbar\omega/c)/(m_1 + m_2)\).

    Фотон достигнет второго тела за время \(\Delta t = L/c\), и после его поглощения тележка остановится, то есть её скорость станет равной нулю: \(v_2 = 0\).

    За время \(\Delta t\) тележка сдвинется на расстояние \[\Delta L = v_1\Delta t = \dfrac{\hbar\omega/c}{m_1 + m_2}\cdot\dfrac{L}{c} = \dfrac{\hbar\omega}{c^2}\cdot\dfrac{L}{m_1 + m_2}.\] Чтобы центр масс системы остался на месте, нужно, чтобы масса первого тела уменьшилась, а второго — увеличилась на величину \(\Delta m\), определяемую из соотношения \(\Delta m\cdot L - (m_1 + m_2)\cdot\Delta L = 0\). Отсюда \(\Delta m = \hbar\omega/c^2\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх