Брусок на листе бумаги

Лист лёгкий, поэтому силы трения на него со стороны бруска и плоскости равны по величине. Переберите случаи: что скользит, а что покоится.

На брусок массой \(M\) действуют сила тяжести \(Mg\), сила реакции опоры \(Mg\cos\alpha\) и сила трения \(F_{\text{тр1}}\) со стороны листа. Ускорение бруска определяется из второго закона Ньютона: \[Ma = Mg\sin\alpha - F_{\text{тр1}}.\] На лист бумаги действуют силы реакции опоры со стороны бруска и наклонной плоскости, противоположные по направлению и равные по величине \(Mg\cos\alpha\), и силы трения со стороны бруска \(F_{\text{тр1}}\) и наклонной плоскости \(F_{\text{тр2}}\), также противоположные по направлению и, поскольку лист лёгкий, равные по величине: \(F_{\text{тр1}} = F_{\text{тр2}} = M(g\sin\alpha - a)\). При этом должны выполняться условия: \[F_{\text{тр1}} \leqslant \mu_1Mg\cos\alpha,\quad F_{\text{тр2}} \leqslant \mu_2Mg\cos\alpha.\] Равенства в этих соотношениях достигаются только при скольжении поверхностей друг относительно друга.

Таким образом, возможны следующие случаи:

1. Система покоится, при этом \(a = 0\). Случай возможен при \(\mu_1 > \operatorname{tg}\alpha\) и \(\mu_2 > \operatorname{tg}\alpha\).

2. Брусок движется, а лист бумаги покоится. В этом случае \[F_{\text{тр1}} = F_{\text{тр2}} = \mu_1Mg\cos\alpha,\quad a = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha).\] Случай возможен при \(\mu_1 < \mu_2\) и \(\mu_1 < \operatorname{tg}\alpha\).

3. Брусок движется вместе с бумагой. В этом случае \[F_{\text{тр1}} = F_{\text{тр2}} = \mu_2Mg\cos\alpha,\quad a = g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha).\] Случай возможен при \(\mu_1 > \mu_2\) и \(\mu_2 < \operatorname{tg}\alpha\).

Отсюда получаем: \[a = 0\quad\text{при}\quad\min(\mu_1, \mu_2) > \operatorname{tg}\alpha,\] \[a = g(\sin\alpha - \min(\mu_1, \mu_2)\cos\alpha)\quad\text{при}\quad\min(\mu_1, \mu_2) < \operatorname{tg}\alpha.\]