Бесконечная цепочка

Вдали от клемм по верхнему проводу ток не идёт — его можно разорвать посередине. Тогда цепь делится на две одинаковые половины, а у бесконечной цепочки сопротивление не меняется при добавлении звена.

Ясно, что на большом удалении от клемм \(A\) и \(B\) данной цепи ток течёт только по нижнему проводнику, а по верхней части цепи ток не идёт, и поэтому её можно разорвать. Тогда изображённую на рисунке в условии задачи электрическую цепь можно представить, как совокупность двух электрических цепей \(AC\) и \(CB\), соединённых последовательно (см. рисунок 06.16.1).

Сопротивление всей электрической цепи \(R_{AB}\) складывается из сопротивлений \(R_{AC}\) и \(R_{CB}\) цепей \(AC\) и \(CB\), которые совпадают: \(R_{AC} = R_{CB} = R_x\). Поэтому \(R_{AB} = 2R_x\).

Перерисуем электрическую цепь \(AC\) (см. рисунок 06.16.2). Поскольку эта цепь бесконечная и её сопротивление не изменяется при добавлении ещё одного звена в начале, представим её так, как показано на рисунке 06.16.3. Тогда из законов последовательного и параллельного соединения проводников получим: \[R_x = R + \dfrac{RR_x}{R + R_x}\quad\text{или}\quad R_x^2 - RR_x - R^2 = 0.\] Решая это квадратное уравнение, находим: \(R_x = R(1 + \sqrt{5})/2\). Отсюда \(R_{AB} = 2R_x = R(1 + \sqrt{5})\).