Грузик на малом обруче

Запишите координаты точки малого обруча как сумму движения центра \(O'\) и вращения вокруг него. Условие качения без проскальзывания (скорость точки касания равна нулю) свяжет угловые скорости.

Поместим начало координат в точку \(O\) и направим ось \(X\) вправо, а ось \(Y\) — вниз. Тогда точка \(O'\) — центр малого обруча — движется по закону \[X(t) = r\sin\omega t,\quad Y(t) = r\cos\omega t,\] если отсчитывать время от момента, указанного в условии задачи.

Обозначим через \(\varphi(t) = \varphi_0 - \omega_1t\) угол поворота малого обруча, вращающегося при качении по большому обручу в противоположную сторону с угловой скоростью \(\omega_1\). Закон движения точки на малом обруче можно записать в виде \[x(t) = r\sin\omega t + r\sin\varphi(t),\quad y(t) = r\cos\omega t + r\cos\varphi(t),\] а скорость и ускорение этой точки — в виде \[\begin{array}{l} v_x(t) = r\omega\cos\omega t - r\omega_1\cos\varphi(t),\\ v_y(t) = -r\omega\sin\omega t + r\omega_1\sin\varphi(t),\\ a_x(t) = -\omega^2r\sin\omega t - \omega_1^2r\sin\varphi(t),\\ a_y(t) = -\omega^2r\cos\omega t - \omega_1^2r\cos\varphi(t). \end{array}\] В момент времени, когда \(\varphi(t) = \omega t\), рассматриваемая точка на малом обруче касается большого обруча, поэтому её скорость должна обращаться в ноль. Отсюда получаем: \[\omega_1 = \omega,\quad\text{и}\quad a_x = -\omega^2x,\quad a_y = -\omega^2y.\] Следовательно, в каждый момент времени ускорение точки \(A\) на малом обруче направлено к центру большого обруча и выражается через расстояние до центра большого обруча как \(\omega^2R\). В момент времени, показанный на рисунке в условии задачи, \(R = r\sqrt{2}\). Таким образом, вектор ускорения точки \(A\) направлен к точке \(O\) под углом \(45^\circ\) к отрезку \(AO'\) и по величине равен \(a = \omega^2r\sqrt{2}\).