Комочек в заряженной сфере

Сфера с вырезанным кусочком — это целая сфера плюс маленький диск противоположного заряда. Скорость находится из закона сохранения энергии; потенциал в центре диска можно найти, разбивая его на кольца.

Сферу с вырезанным кусочком можно представить как совокупность целой сферы с зарядом \(Q\) (будем считать, что \(Q > 0\)) и маленького диска с зарядом противоположного знака, расположенного в месте нахождения вырезанного кусочка. Заряд этого диска равен \(-q = -Q/10000\), а поверхностная плотность заряда на нём равна \(\sigma = -Q/(4\pi R^2)\). Пока комочек движется внутри сферы, он притягивается к этому отрицательно заряженному диску, поскольку целая равномерно заряженная сфера не создаёт поля внутри. После вылета за пределы сферы комочек отталкивается от неё.

Скорость комочка на большом удалении от сферы и в момент вылета из неё можно найти из закона сохранения энергии. Можно считать, что потенциал в центре сферы, создаваемый всеми зарядами на её поверхности, равен \(\varphi_0 = kQ/R\), где \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\), поскольку потенциалом, который создаёт маленький отрицательно заряженный диск в центре сферы, можно пренебречь. В середине отверстия потенциал складывается из \(\varphi_0\) — постоянного потенциала внутри равномерно заряженной сферы — и потенциала в центре отрицательно заряженного диска, который можно найти следующим образом.

Пусть диск имеет радиус \(r\) и поверхностную плотность заряда \(\sigma\). Участок диска, ограниченный окружностями с радиусами \(r'\) и \(r' + \Delta r'\), создаёт в центре диска потенциал \(k\sigma\cdot 2\pi r'\Delta r'/r' = 2\pi k\sigma\Delta r'\). Следовательно, потенциал всего диска в его центре равен \(\varphi_{\text{д}} = 2\pi k\sigma r = -2k\sqrt{q\pi|\sigma|}\), а потенциал в середине отверстия равен \(\varphi_0 + \varphi_{\text{д}}\). На большом удалении от сферы её потенциал равен нулю: \(\varphi_\infty = 0\).

Таким образом, энергия электростатического взаимодействия комочка со сферой изменится к моменту его вылета из сферы (достижения центра отверстия) на величину \[\Delta W_{\text{вып}} = q\Delta\varphi = q((\varphi_0 + \varphi_{\text{д}}) - \varphi_0) = -2kq\sqrt{q\pi\dfrac{Q}{4\pi R^2}} = -k\dfrac{q\sqrt{qQ}}{R} = -\dfrac{kQ^2}{10^6R},\] а на большом удалении от сферы — на величину \[\Delta W_\infty = q\Delta\varphi_\infty = q(\varphi_\infty - \varphi_0) = -q\varphi_0 = -\dfrac{kqQ}{R} = -\dfrac{kQ^2}{10^4R}.\] Скорости комочка в момент вылета из сферы \(v_{\text{вып}}\) и на большом удалении от неё \(v_\infty\) выражаются через его массу \(m = 10^{-4}M\) с помощью закона сохранения энергии: \[\dfrac{mv_{\text{вып}}^2}{2} + \Delta W_{\text{вып}} = 0,\quad\dfrac{mv_\infty^2}{2} + \Delta W_\infty = 0.\] Отсюда \[v_\infty = \sqrt{\dfrac{-2\Delta W_\infty}{m}} = \sqrt{\dfrac{2kQ^2}{MR}} = \dfrac{Q}{\sqrt{2\pi\varepsilon_0MR}},\] \[v_{\text{вып}} = \sqrt{\dfrac{-2\Delta W_{\text{вып}}}{m}} = 10^{-1}\sqrt{\dfrac{2kQ^2}{MR}} = \dfrac{10^{-1}Q}{\sqrt{2\pi\varepsilon_0MR}}.\]