Фотон между зеркалами

Рассмотрим отражение фотона от движущегося поршня, причём будем считать поршень нерелятивистской частицей массой \(m\). Пусть \(v\) и \(\omega\) — скорость поршня и частота фотона до столкновения, \(v'\) и \(\omega'\) — после столкновения. Направим ось \(X\) в сторону движения поршня и запишем законы сохранения импульса и энергии в процессе столкновения. Учитывая, что энергия фотона даётся формулой \(E_f = \hbar\omega\), а импульс — формулой \(p_f = \dfrac{\hbar\omega}{c}\), получим: \[mv - \dfrac{\hbar\omega}{c} = mv' + \dfrac{\hbar\omega'}{c},\qquad \dfrac{mv^2}{2} + \hbar\omega = \dfrac{mv'^2}{2} + \hbar\omega'.\] Так как \(\dfrac{\hbar\omega}{c} \ll mv\), то \(v \approx v'\), \(\omega \approx \omega'\), и \[\dfrac{\omega' - \omega}{\omega' + \omega} = \dfrac{v + v'}{2c} \approx \dfrac{v}{c},\] откуда для изменения частоты фотона \(\Delta\omega = \omega' - \omega\) имеем: \[\Delta\omega \approx \dfrac{2v}{c}\omega.\] Если в некоторый момент времени \(t\) расстояние между поршнем и дном цилиндра равно \(L\), то интервал между двумя последовательными столкновениями фотона с поршнем равен \(\Delta t = \dfrac{2L}{c}\), а изменение расстояния между поршнем и дном за время \(\Delta t\) составляет \[\Delta L = -v\Delta t = -\dfrac{2v}{c}L.\] Следовательно, \[\dfrac{\Delta L}{L} = -\dfrac{2v}{c} = -\dfrac{\Delta\omega}{\omega},\] то есть \(\omega\Delta L + \Delta\omega L = 0\). Отсюда \(\Delta(\omega L) = 0\), а значит, \(\omega L = \text{const}\). Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты для одномерного «однофотонного газа».

Если объём цилиндра уменьшается в \(k\) раз, то и его длина уменьшается во столько же раз. Значит, в соответствии с уравнением адиабаты, частота фотона должна возрасти в \(k\) раз, то есть \(\omega = k\omega_0\).