Колебания обруча на нити

Обозначим длину пружины в недеформированном состоянии через \(l_0\), а в положении равновесия — через \(l_1\). Условие равновесия обруча имеет вид: \[mg = 2T = 2k(l_1 - l_0),\] где \(T\) — сила натяжения нити, перекинутой через обруч.

Пусть в процессе колебаний центр обруча сместился вниз от положения равновесия на расстояние \(x\) и приобрёл при этом скорость \(v = dx/dt\). Тогда потенциальная энергия системы с учётом условия равновесия станет равной \[U = -mgx + \dfrac{k}{2}\left((l_1 - l_0 + 2x)^2 - (l_1 - l_0)^2\right) = -mgx + 2kx(l_1 - l_0) + 2kx^2 = 2kx^2\] (за начало отсчёта потенциальной энергии выбрано положение равновесия оси обруча). Кинетическая энергия обруча, как и в предыдущей задаче, складывается из энергий его поступательного и вращательного движений и равна \[W = W_{\text{п}} + W_{\text{в}} = mv^2.\] Отсюда для круговой частоты колебаний \(\omega\) получаем: \(\omega = \sqrt{\dfrac{2k}{m}}\).