Заряды в поле E

Пока синяя частица в поле, на гантель действует единственная внешняя сила \(Eq\); перейдите в систему центра масс, где возникает сила инерции, и учтите, что колебания пружины к моменту выхода из поля должны затухнуть, то есть гантель должна сделать целое число колебаний.

i) \(\tau=\dfrac{4mv}{Eq}\);  ii) \(\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\,\dfrac{4mv}{Eq}=2\pi\);  iii) \(\dfrac L2>\dfrac{mv^2}{Eq}+\dfrac{Eq}{2k}\).

i) (2,5 балла). Начальный и конечный импульсы гантели отличаются на \(4mv\). Единственная внешняя сила, действующая на гантель, — электростатическая сила \(Eq\), приложенная к синей частице. Значит, длительность её действия должна удовлетворять условию \(Eq\tau=4mv\), откуда \(\tau=4mv/Eq\).

ii) (3 балла). Как только синяя частица входит в электрическое поле, центр масс \(C\) гантели получает ускорение \(a=Eq/2m\). Рассмотрим движение в системе, в которой \(C\) покоится. В ней красная и синяя частицы движутся симметрично; рассмотрим красную. Из-за силы инерции \(F_i=ma=Eq/2\) положение равновесия красной частицы сдвигается (чтобы достичь равновесия, половина пружины должна деформироваться на \(x=F_i/2k=Eq/4k\)); частица стартует из состояния покоя, не из положения равновесия. Поэтому начинаются колебания с круговой частотой \(\omega=\sqrt{2k/m}\) (множитель 2 связан с тем, что колебания происходят вокруг середины пружины, а у половины пружины жёсткость вдвое больше).

Чтобы гантель вернулась с той же скоростью, с какой подошла, остаточные колебания должны отсутствовать (иначе часть начальной кинетической энергии перейдёт в энергию колебаний, и скорость центра масс уменьшится). Значит, фаза колебаний должна быть \(\omega\tau=2n\pi\), где \(n\) — целое число. Поскольку длина пружины достигает минимума лишь однажды, \(n=1\). Итак, \(\omega\tau=2\pi\), и равенство можно записать в виде \[\sqrt{\frac{2k}{m}}\,\frac{4mv}{Eq}=2\pi .\]

iii) (2,5 балла). Требуется, чтобы красная частица никогда не входила в область \(x>0\). Самый критический момент — \(t=\tau/2\) (\(t=0\) соответствует входу синей частицы в электрическое поле), когда пружина сжата максимально. Центр масс сместился на \(s=at^2/2=(Eq/2m)\cdot\tau^2/8=mv^2/Eq\), а длина половины пружины уменьшилась на \(2x\) (\(x\) — разность длин начального и равновесного состояний; нужна разность длин начального, то есть максимально растянутого, и максимально сжатого состояний). Поэтому \[\frac L2>s+2x=\frac{mv^2}{Eq}+\frac{Eq}{2k}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.