Заряды в поле B

В поле частица движется по окружности радиуса \(mv/qB\) и выходит обратно под тем же углом; вторая частица идёт по той же траектории с запаздыванием по пути, равным начальному расстоянию, а минимум расстояния достигается, когда обе частицы в поле.

i) радиус окружности \(R=mv/qB\), графики — на рисунках решения;  ii) \(L_{\min}=\dfrac{2mv}{qB}\sin\dfrac{L_0qB}{2mv}\).

i) (1,5 балла). В магнитном поле частица движется по окружности радиуса \(R\), для которого сила Лоренца \(qvB=mv^2/R\), откуда \(R=mv/qB\). Вне магнитного поля траектория — прямая линия, см. рисунок. На время движения по окружности \(y=R-R\cos(\omega t)\), а в остальное время \(y=0\) или \(y=2R\).

ii) (3,5 балла). Вторая частица следует за первой, отставая вдоль траектории на то же расстояние, что и вначале. Как только первая частица входит в магнитное поле, геометрическое расстояние начинает уменьшаться и достигает минимума, когда скорость изменения расстояния меняет знак, то есть обращается в нуль (по крайней мере, на один момент). В этом состоянии частицы движутся как части твёрдого тела, то есть расстояния до мгновенного центра вращения (это точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей) должны быть равны для обеих частиц (потому что скорости равны). Легко видеть, что это равенство достигается именно тогда, когда вторая частица тоже входит в поле, и остаётся выполненным, пока обе частицы находятся там. Когда первая частица выходит из поля, расстояние начинает увеличиваться симметрично тому, как оно уменьшалось раньше. Получившийся график изображён на рисунке; заметим, что кривая гладкая; действительно, негладкие стыки отрезков означали бы бесконечную вторую производную расстояния по времени, то есть бесконечное ускорение и силу.

Когда обе частицы находятся в поле, они лежат на концах дуги окружности длиной \(L_0\). Поэтому расстояние \(L_{\min}=2R\sin\dfrac\alpha2\), где угол в радианах \(\alpha=L_0/R\). Итак, \[L_{\min}=\frac{2mv}{qB}\sin\frac{L_0qB}{2mv}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.