Тираннозавр (T. rex)

Масса пропорциональна кубу размера, а площадь сечения кости — массе (при том же напряжении), отсюда отношение размеров; ногу в п. ii) можно считать однородным стержнем, подвешенным за верхний конец, а за один период нога проходит расстояние \(A\).

i) \(L=lN^{1/3}\approx3{,}23\) м;  ii) \(v=\dfrac{A}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L}}\approx1{,}4\) м/с \(\approx5\) км/ч.

i) (3 балла). Масса \(m\) пропорциональна объёму, поэтому связь между массой и линейным масштабом такова: \(L=l(M/m)^{1/3}\). Сила \(F\) на кости животного пропорциональна его массе, а при том же напряжении площадь сечения кости пропорциональна силе; следовательно, площадь пропорциональна массе. Итак, \(M/m=N\), откуда \(L=lN^{1/3}\approx3{,}23\) м. Длина шага — половина расстояния между двумя следами одной и той же ноги, то есть 2 м. Это соответствует углу между ногами \(\alpha=2\arcsin\dfrac{1}{3{,}2}\approx36^\circ\), что выглядит разумным.

ii) (3 балла). Смоделируем ногу физическим маятником. Ногу можно приближённо считать однородным стержнем, подвешенным за верхний конец (тазобедренный сустав). Тогда её момент инерции \(I=\frac13\mathcal ML^2\), где \(\mathcal M\) — масса ноги.

При малых размахах единственная сила, действующая на ногу, — сила тяжести ноги. Поэтому уравнение моментов имеет вид \[\frac13\mathcal ML^2\cdot\ddot\varphi=-\mathcal Mg\varphi\frac L2;\] здесь \(\varphi\) — угол ноги, так что плечо силы тяжести равно \(\varphi\dfrac L2\). Отсюда круговая частота ноги \(\omega=\sqrt{\dfrac{3g}{2L}}\). Смещению \(A\) соответствует целый период, то есть скорость ходьбы \(v=A/T=A\omega/2\pi=\dfrac{A}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L}}\approx1{,}4\) м/с \(\approx5\) км/ч. Итак, скорость ходьбы сопоставима со скоростью человека.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.