Разбрызгиватель

Дальность полёта максимальна при угле \(45^\circ\); интенсивность полива обратно пропорциональна производной дальности по углу вылета, а она обращается в нуль в максимуме.

i) \(S=\pi s_{\max}^2=\dfrac{\pi v^4}{g^2}\);  ii) на расстоянии \(s_{\max}=\dfrac{v^2}{g}\) от разбрызгивателя.

Известно, что для тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту со скоростью \(v\), максимальная дальность полёта достигается при \(\alpha=45^\circ\) (этот результат легко вывести и самому). Эта максимальная дальность полёта находится как \(s_{\max}=vt/\sqrt2\), где время полёта \(t\) получается из условия \(gt=2v/\sqrt2\). Итак, \(s_{\max}=v^2/g\). Это расстояние даёт радиус круглой области, поливаемой разбрызгивателем; её площадь \(S=\pi s_{\max}^2=\pi v^4/g^2\).

ii) (1,5 балла). Построим дальность полёта \(s\) как функцию угла \(\alpha\) при выходе из разбрызгивателя. Это гладкая кривая с одним максимумом. Для интервала расстояний от \(s\) до \(s+\Delta s\) количество получаемой воды (грубо говоря) пропорционально соответствующей ширине интервала углов \(\Delta\alpha\). Поэтому интенсивность полива (грубо) пропорциональна \(Q\propto\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}=1\Big/\dfrac{\Delta s}{\Delta\alpha}\). В пределе малых \(\Delta\alpha\) и \(\Delta s\) это превращается в производную: \(Q\propto1\Big/\dfrac{ds}{d\alpha}\), то есть \(Q\) стремится к бесконечности в максимуме \(s(\alpha)\). Иными словами, лучшее положение — на расстоянии \(s=s_{\max}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.