Спутник

Перейдите в систему отсчёта нижнего, гораздо более тяжёлого шара: в ней лёгкий шар упруго отскакивает с той же по модулю скоростью, с какой подлетел.

i) скорость маленького шара после столкновения \(3\sqrt{2gh}\);  ii) \(N=11\), масса нижнего шара \(M_N\cdot10^{N-1}=1\times10^{10}\) кг.

i) (3 балла). До столкновений шары достигают скорости \(u=\sqrt{2gh}\). Первое столкновение — большого шара с землёй; скорость большого шара меняет направление на противоположное. Рассмотрим второе столкновение в системе центра масс, которая приблизительно совпадает с системой отсчёта большого шара. В этой системе маленький шар подлетает со скоростью \(u+u=2u\), а после столкновения улетает с той же скоростью. В лабораторной системе скорость равна \(2u+u=3u=3\sqrt{2gh}\).

ii) (2 балла). Используем тот же метод. Обозначим скорость \(i\)-го шара перед \((i+1)\)-м столкновением через \(v_i\). Тогда в системе \(i\)-го шара \((i+1)\)-й шар подлетает и улетает (после столкновения) со скоростью \(v_i+u\); в лабораторной системе скорость улёта \[v_{i+1}=(v_i+u)+v_i=2v_i+u.\] Учитывая, что \(v_1=u\), находим \(v_2=3u\), \(v_3=7u\), \(v_4=15u\) и так далее, \(v_N=(2^N-1)u\). Итак, \(v_N=(2^N-1)\sqrt{2gh}\), откуда \[N=\Bigl\lceil\log_2\Bigl(1+\frac{v_N}{\sqrt{2gh}}\Bigr)\Bigr\rceil=11.\]

Здесь \(\lceil\ldots\rceil\) обозначает потолок, то есть округление вверх.

Каждый следующий шар в 10 раз легче предыдущего, так что масса нижнего шара должна быть равна \(M_N\cdot10^{N-1}=1\times10^{10}\) кг.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.