Ледовое ралли

Пока тяга отсутствует, ускорение уменьшается на величину \(\mu g\) по сравнению с ускорением на графике; после переключения график повторяет идеальный, сдвинутый вправо на \(\tau_2\), а разность пройденных путей — это площадь между двумя графиками \(v(t)\).

i) \(\mu=0{,}1\);  ii) \(v_0\approx25\) м/с;  iii) \(S=\tau_2(v_t-v_0)\approx15\) м.

i) (2 балла). Поскольку в самом начале влиянием сопротивления воздуха можно пренебречь, ускорение (то есть тангенс угла наклона графика) даёт отношение силы трения \(F_f\) к массе \(m\), то есть \(\mu g\). По графику этот тангенс \(\mu g=1{,}0\) м/с\(^2\), откуда \(\mu=0{,}1\).

ii) (2,5 балла). Когда движущая сила пропадает, ускорение уменьшается на \(F_f/m=\mu g\), то есть из наклона графика в текущей точке нужно вычесть его наклон в начале координат. Увеличенный эскиз графика около периода переключения передачи приведён на рисунке. После переключения новый график следует идеальному, но сдвинут вправо на \(\tau_2\); этот сдвиг тоже отмечен на рисунке. Так как \(2\tau_1=\tau_2\), нарастающий и спадающий наклоны на этом эскизе должны быть одинаково крутыми, то есть \(a=\mu g/2\). Значит, переключение происходит при такой скорости, когда ускорение вдвое меньше, чем при нулевой скорости. По графику находим \(v_0\approx25\) м/с.

iii) (2,5 балла). Разность путей — это площадь \(S\) между фактическим графиком \(v(t)\) и идеальным. Эти графики совпадают при \(v<v_0\) и после достижения значения \(v=v_t\). Значит, площадь \(S\) заключена в диапазоне \(v_t>v>v_0\), где фактический график — это, по сути, идеальный график, сдвинутый вправо на \(\tau_2\). Эта площадь имеет вид узкой изогнутой полоски, горизонтальная ширина которой при каждом значении \(v\) равна \(\tau_2\). Можно разбить эту полоску на крошечные горизонтальные слои высотой \(\delta\) и шириной \(\tau_2\). Если сложить площади этих слоёв, можно вынести \(\tau_2\) за скобки; тогда сумма высот слоёв в скобках даёт \(v_t-v_0\). Итак, площадь \(S=\tau_2(v_t-v_0)\approx15\) м.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.