Автомобиль на подъёме и спуске

На каждом участке сила тяги уравновешивает сопротивление с учётом составляющей силы тяжести. Запишите мощность двигателя на трёх участках и исключите из них силу тяжести.

На всех участках дороги автомобиль движется равномерно и прямолинейно, т. е.: \[F_{тяги1} = f_{сопр} = kv_1^2 \quad\text{на горизонтальном участке},\] \[F_{тяги2} = kv_2^2 + mg\sin\alpha \quad\text{на подъёме},\qquad F_{тяги3} = kv_3^2 - mg\sin\alpha \quad\text{на спуске},\] где \(\alpha\) — угол наклона дороги. Для мощности \(P\) двигателя: \[\begin{cases} P = kv_1^3, \\ P = kv_2^3 + mg\sin\alpha\, v_2, \\ P = kv_3^3 - mg\sin\alpha\, v_3. \end{cases}\] Решая систему уравнений, получим \[kv_1^3\left(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}\right) = k\left(v_2^2 + v_3^2\right),\] \[v_1 = \sqrt[3]{\frac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}, \qquad p_1 = m\sqrt[3]{\frac{v_2 v_3\left(v_2^2 + v_3^2\right)}{v_2 + v_3}}.\]