Поездка по льду

Ускорение ограничено силой трения сверху и снизу (\(\pm\mu g\)). Быстрее всего ехать, разгоняясь с максимальным ускорением, а затем тормозя с максимальным; осталось найти, где разгон сменяется торможением.

\(t=t_1+t_2+t_3\approx17{,}24\) с.

Если масса автомобиля \(m\), то сила тяжести \(F_g=mg\), а максимальная сила трения, действующая на колёса, \(F_\text{тр}=\mu mg\). Максимальная разгоняющая или тормозящая сила, которая может действовать на автомобиль, равна максимальной силе трения (иначе колёса начали бы проскальзывать), поэтому максимальное ускорение автомобиля \(a_{\max}=F_\text{тр}/m=\mu g\), а минимальное \(a_{\min}=-F_\text{тр}/m=-\mu g\).

Очевидно, что при минимальном времени в пути автомобиль сначала разгоняется с максимальным ускорением \(a_{\max}\), а затем тормозит с ускорением \(a_{\min}\) так, чтобы остановиться точно в конце пути. Действительно, если бы в какой-то момент ускорение автомобиля не было максимально (минимально) возможным, то за этот промежуток времени автомобиль мог бы короткое время разгоняться и тормозить с максимальным ускорением, сократив время в пути. Поскольку \(\mu_2>\mu_1\), максимальное ускорение на втором участке больше, а значит, и разгон сменяется торможением на втором участке пути.

Пусть автомобилю требуется время \(t_1\), чтобы достичь середины пути, затем время \(t_2\), чтобы достичь места, где разгон сменяется торможением, и затем время \(t_3\), чтобы доехать до конца пути. Соответствующие ускорения автомобиля \(a_1=\mu_1g\), \(a_2=\mu_2g\) и \(a_3=-\mu_2g\).

За время \(t_1\) автомобиль проходит путь \(L\), поэтому \[L=\frac{\mu_1gt_1^2}{2}\quad\Longrightarrow\quad t_1=\sqrt{\frac{2L}{\mu_1g}}=10\text{ с}.\] Достигнув середины пути, автомобиль имеет скорость \[v_1=\mu_1gt_1=\mu_1g\sqrt{\frac{2L}{\mu_1g}}=\sqrt{2L\mu_1g}=10\text{ м/с}.\] После прохождения времени \(t_2\) скорость автомобиля \[v_2=v_1+\mu_2gt_2.\] Поскольку длина второго участка также \(L\), то \[L=\frac{v_2^2-v_1^2}{2a_2}+\frac{0-v_2^2}{2a_3}=\frac{2v_2^2-v_1^2}{2\mu_2g},\] \[v_2=\sqrt{\frac{2\mu_2gL+v_1^2}{2}}\approx12{,}25\text{ м/с}.\] Следовательно, \[t_2=\frac{v_2-v_1}{\mu_2g}\approx1{,}12\text{ с}.\] Так как в конце пути автомобиль должен остановиться, то \[\Delta v=0\quad\Longrightarrow\quad\mu_1gt_1+\mu_2gt_2-\mu_2gt_3=0\quad\Longrightarrow\quad t_3=t_2+\frac{\mu_1}{\mu_2}t_1\approx6{,}12\text{ с},\] и полное время прохождения пути \[t=t_1+t_2+t_3\approx17{,}24\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.