Линза и экран

Одинаковая яркость на расстоянии 60 см означает, что граница тени от оправы линзы совпала с краем светлого пятна без линзы, то есть освещённая область одна и та же. Запишите две пары подобных треугольников — через источник и через изображение.

1) \(f=6\) см;  2) два концентрических круга: меньший светлый внутри большего тёмного.

Пусть \(A\) — источник света, \(B\) — его изображение в линзе, \(CD\) — линза, \(O\) — её центр.

Если экран находится между 10 и 60 см от линзы, на экране возникают два концентрических круга (левый рисунок): светлый меньший круг диаметром \(GH\) лежит внутри тёмного круга диаметром \(EF\). В области \(EG\) и \(HF\) свет источника не попадает.

Если убрать линзу, точки \(E\) и \(G\) сольются в одну, как и точки \(F\) и \(H\). Экран равномерно освещён светом, как будто линзы нет (правый рисунок).

Пусть \(x=|AO|\) — расстояние между источником света и линзой, \(r=|OC|\) — радиус линзы, \(R=|KE|\). Из условий задачи \(|BO|=10\) см, \(|KO|=60\) см, а значит, \(|BK|=50\) см. Из подобных треугольников \(AOC\) и \(AKE\) получаем \[\frac rR=\frac{x}{x+60}.\] Из подобных треугольников \(BOD\) и \(BKE\): \[\frac rR=\frac{10}{50}.\] В итоге получаем уравнение \(\dfrac{x}{x+60}=\dfrac{10}{50}\), решение которого \(x=15\) см.

Из формулы линзы теперь \[\frac1{10}+\frac1{15}=\frac1f\quad\Rightarrow\quad f=6\text{ см}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.