Тело на шаре

В системе планеты на тело действует центробежная сила; её составляющая вдоль радиуса уменьшает вес, а составляющая вдоль поверхности должна уравновешиваться силой трения покоя.

1) \(W=m\,\dfrac{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}{R^2T^2}\);  2) \(\mu\ge\dfrac{2\pi^2R^3\sin(|2\theta|)}{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}\).

а) Рассмотрим движение тела по окружности, определённой широтой \(\theta\). На широте \(\theta\) радиус обращения маленького тела \[r=R\cos\theta,\] а линейная скорость \[v=\omega r=\frac{2\pi}{T}\,r=\frac{2\pi R\cos\theta}{T}.\] Теперь можно выразить центростремительную (центробежную) силу: \[F_\text{ц}=\frac{mv^2}{r}=\frac{m\left(\dfrac{2\pi R\cos\theta}{T}\right)^2}{R\cos\theta}=\frac{4\pi^2mR\cos\theta}{T^2}.\] Учитывая, что на вес влияет только радиальная составляющая центробежной силы, \[F_{\text{ц}\perp}=\cos\theta\,F_\text{ц}=\frac{4\pi^2mR\cos^2\theta}{T^2},\] можно найти вес тела: \[W=\frac{GmM}{R^2}-\frac{4\pi^2mR\cos^2\theta}{T^2}=m\left(\frac{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}{R^2T^2}\right).\]

б) Скольжение вызывает составляющая центробежной силы, касательная к поверхности шара: \[F_{\text{ц}\parallel}=\sin(|\theta|)\,F_\text{ц}=\frac{4\pi^2mR\cos\theta\sin(|\theta|)}{T^2}=\frac{2\pi^2mR\sin(|2\theta|)}{T^2}.\] Сила трения выражается как \[F_\text{тр}=\mu W=\mu m\left(\frac{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}{R^2T^2}\right).\] Следовательно, при равновесии \[F_{\text{ц}\parallel}\le\mu W,\] \[\frac{2\pi^2mR\sin(|2\theta|)}{T^2}\le\mu m\left(\frac{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}{R^2T^2}\right),\] и, значит, \[\mu\ge\frac{2\pi^2R^3\sin(|2\theta|)}{GMT^2-4\pi^2R^3\cos^2\theta}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.