Треугольник

Прямолинейность траекторий означает, что треугольник из частиц остаётся подобным самому себе. Центр масс стоит на месте, значит, результирующие силы должны идти вдоль медиан и быть пропорциональны их длинам.

1) \(q_Aa^3=q_Bb^3=q_Cc^3\);  2) да, для любого треугольника.

Чтобы частицы двигались прямолинейно, треугольник, в вершинах которого они находятся, должен оставаться подобным самому себе. Так как точка пересечения медиан треугольника (центр масс) из-за отсутствия внешних сил остаётся на месте, то результирующие силы, действующие на все частицы, должны действовать вдоль медиан, а их модули должны быть пропорциональны длинам соответствующих медиан (тогда ускорения и скорости роста медиан пропорциональны длинам медиан, и треугольник остаётся подобным самому себе).

Обозначим стороны, исходящие из точки \(C\), векторами \(\vec a\) и \(\vec b\); медиана, проведённая из вершины \(C\), равна \((\vec a+\vec b)/2\); аналогичные выражения получаем и для остальных медиан. Следовательно, результирующие силы, действующие на частицы, должны выражаться в виде \[p(\vec a+\vec b)=kq_C\left(\frac{\vec a\,q_B}{a^3}+\frac{\vec b\,q_A}{b^3}\right),\] где \(p\) — константа (одна и та же для выражений, записанных для всех частиц), а \(k\) — постоянная Кулона. Это равенство выполняется только тогда, когда \(\dfrac{q_B}{a^3}=\dfrac{q_A}{b^3}\), то есть \(q_Bb^3=q_Aa^3\). Аналогично находим, что \(q_Cc^3=q_Aa^3\), то есть \[q_Aa^3=q_Bb^3=q_Cc^3\equiv Q.\] Используя определённую здесь величину \(Q\), можно выразить константу \(p=\dfrac{kQ}{a^3b^3c^3}\); из соображений симметрии очевидно, что для остальных частиц получается точно такое же выражение, как и требуется для прямолинейного движения частиц. Итак: да, для любого треугольника возможно прямолинейное движение частиц, нужно лишь выполнить равенство \(q_Aa^3=q_Bb^3=q_Cc^3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.