Жидкость на зеркале

Жидкость на зеркале — тонкая плосковыпуклая линза, через которую свет проходит дважды. Сложите оптические силы: двух проходов линзы и самого зеркала.

\(n_x=\dfrac{2h-l}{2(h-l)}\,n_v\approx1{,}50\).

Решение 1. Когда жидкость находится на кривом зеркале, она ведёт себя как линза, у которой радиус кривизны одной стороны равен радиусу кривизны зеркала, а радиус кривизны другой стороны стремится к бесконечности. Поскольку ширина зеркала много меньше \(l\), \(h\), то это тонкая линза. В таком случае оптическая сила линзы \[D_\text{л}=\frac1{f_\text{л}}=\frac{n-1}{R},\] где \(n\) — показатель преломления жидкости, а \(R\) — радиус кривизны зеркала.¹

Оптическая сила зеркала \[D_\text{з}=\frac1{f_\text{з}}=\frac2R,\] где \(f_\text{з}\) — фокусное расстояние зеркала. Поскольку лучи света проходят через линзу дважды (до отражения и после), оптическую силу линзы надо учитывать дважды. Комбинируя линзу и зеркало, получаем \[\frac1a+\frac1k=2D_\text{л}+D_\text{з},\] где \(a\) — расстояние от предмета до линзы и зеркала, а \(k\) — расстояние от изображения до линзы и зеркала. Выражая \(D_\text{л}\) и \(D_\text{з}\), получаем \[\frac1a+\frac1k=\frac{2(n-1)}{R}+\frac2R=\frac{2n}{R}.\] Для воды \[\frac1h+\frac1h=\frac{2n_v}{R}\quad\Longrightarrow\quad R=hn_v.\] Для неизвестной жидкости \[\frac1h+\frac1{h-l}=\frac{2n_x}{R}.\] Выражая \(n_x\), получаем \[n_x=\frac{(2h-l)R}{2h(h-l)}=\frac{2h-l}{2(h-l)}\,n_v\approx1{,}50.\]

Решение 2. Рассмотрим луч, идущий от источника под углом \(\alpha\) к вертикали. Следовательно, луч входит в жидкость на расстоянии \(a=\alpha h\) от оси симметрии зеркала. По закону Снеллиуса угол луча с вертикалью после входа в жидкость равен \(\alpha/n\). Пусть угол луча после отражения от зеркала равен \(\beta\). В приближении малых углов нормаль к поверхности зеркала составляет угол \(\dfrac12\left(\dfrac\alpha n+\beta\right)\). В то же время нормаль к поверхности зеркала пересекает ось симметрии на расстоянии \(R\), где \(R\) — радиус кривизны вогнутого зеркала. Поэтому \[\frac12\left(\frac\alpha n+\beta\right)=\frac aR=\frac{\alpha h}{R},\] следовательно, \[\beta=\frac{2\alpha h}{R}-\frac\alpha n.\] Далее, после отражения и повторного выхода из жидкости угол луча с вертикалью \[\gamma=\beta n=\frac{2\alpha nh}{R}-\alpha.\] Таким образом, расстояние изображения от поверхности зеркала \[\frac1d=\frac\gamma a=\frac\gamma{\alpha h}=\frac{2n}{R}-\frac1h.\] Используя полученное соотношение в исходной ситуации, видим, что \[\frac1h=\frac{2n_v}{R}-\frac1h.\] Другими словами, \(R=n_vh\). После замены на неизвестную жидкость получаем \[\frac1{h-l}=\frac{2n}{R}-\frac1h=\frac{2n}{n_vh}-\frac1h.\] Следовательно, \[n=\frac{2h-l}{h-l}\cdot\frac{n_v}{2}\approx1{,}5.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.