Прямой ток

Постоянство скорости вдоль провода означает, что радиальной составляющей скорости нет, а магнитное поле работы не совершает. Значит, электрон движется по винтовой линии радиуса \(r\), и сила Лоренца даёт центростремительное ускорение.

Винтовая линия радиуса \(r\); \(|v_z|=v_0\left(\sqrt{\left(\dfrac{eI\mu_0}{4\pi m_ev_0^2}\right)^2+1}-\dfrac{eI\mu_0}{4\pi m_ev_0^2}\right)\).

Пусть ток течёт вдоль оси \(z\). Из закона Ампера видим, что прямой ток создаёт магнитное поле напряжённостью \(B_\varphi=\dfrac{\mu_0}{2\pi r}I\). На электрон действует сила Лоренца \(\vec F=-e\,\vec v\times\vec B\). Чтобы было \(v_z=\text{const}\), радиальная составляющая скорости электрона должна быть равна нулю. Действительно, если бы она не была равна нулю, то по правилу буравчика у силы Лоренца была бы составляющая вдоль \(z\), и тогда \(v_z\) не могла бы быть постоянной. Поскольку магнитное поле работы не совершает, скорость электрона постоянна, а значит, \(v_\varphi=\text{const}\). Это движение по винтовой линии радиуса \(r\).

Мы видим, что в силу Лоренца вклад вносит только \(z\)-составляющая скорости и что по правилу буравчика \(F=ev_zB\) направлена радиально. Силу Лоренца уравновешивает центростремительное ускорение: \[-\frac{m_ev_\varphi^2}{r}=ev_zB=ev_z\frac{I\mu_0}{2\pi r}.\] Замечаем, что для решения этого уравнения \(v_z\) должна быть отрицательной. Подставляя \(v_\varphi^2=v_0^2-v_z^2\), получаем \[m_e(v_z^2-v_0^2)=ev_z\frac{I\mu_0}{2\pi}.\] Это квадратное уравнение, решение которого \[v_z=\frac{eI\mu_0}{4\pi m_e}\pm\sqrt{\left(\frac{eI\mu_0}{4\pi m_e}\right)^2+v_0^2}.\] Так как \(v_z<v_0\), положительное решение нефизично, то есть \[|v_z|=v_0\left(\sqrt{\left(\frac{eI\mu_0}{4\pi m_ev_0^2}\right)^2+1}-\frac{eI\mu_0}{4\pi m_ev_0^2}\right).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.