Задачи › Сила Лоренца, движение частиц в магнитном поле

Масс-спектрометр

  1. Масс-спектрометр

    NBPhO 2005/06, заключительный этап, 11 кл. · №25726
    4/10PDF: условиес решением

    (9 баллов) На рисунке ниже приведена упрощённая схема масс-спектрометра — прибора для измерения масс молекул. Исследуемое вещество ионизируется нагреванием до температуры \(T\) на горячей нити (молекулы подвергаются одноэлектронной ионизации). Ионы ускоряются напряжением \(U\). Сначала пренебрежём тепловой энергией ионов (\(eU\gg kT\), где \(e\) — элементарный заряд, \(k\) — постоянная Больцмана). Узкий пучок ускоренных ионов попадает в область с магнитным полем. Для простоты будем считать, что область имеет прямоугольную форму, а магнитное поле внутри неё однородно. Магнитное поле отклоняет ионы, и в зависимости от их массы они могут попасть в детектор. Будем считать, что те ионы, которые попадают в центр детектора, входят в область с магнитным полем и выходят из неё перпендикулярно её границе, а расстояние между точками входа и выхода равно \(l\) (см. рисунок).

    Рисунок

    На рисунке: ions — ионы, region with magnetic field — область с магнитным полем, detector — детектор.

    1. Выразите массу \(M\) тех ионов, которые попадают в центр детектора, через величины \(B\), \(l\), \(U\) и \(e\).

    2. Вход в детектор — круг радиуса \(r\) (\(r\ll l\)). Из-за конечного размера входа в детектор в него будут попадать ионы с массами в интервале от \(M-\Delta M\) до \(M+\Delta M\); найдите ширину интервала \(\Delta M\).

    3. При предположениях предыдущего вопроса найдите ширину интервала углов выхода \(\Delta\varphi\) тех ионов, которые ещё могут попасть в детектор.

    4. Теперь пусть \(r\) пренебрежимо мал, но тепловыми эффектами пренебречь нельзя (всё ещё \(eU\gg kT\)). Из-за разницы энергий в детектор могут попасть ионы разных масс в интервале от \(M-\delta M\) до \(M+\delta M\). Каково разрешение \(\delta M\) масс-спектрометра?

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Ион, попавший в центр детектора, движется по четверти окружности, поэтому её радиус связан с расстоянием \(l\) как \(R=l/\sqrt2\); скорость иона находится из энергии \(eU\). Малые отклонения радиуса, угла и энергии дают малые изменения массы через дифференциал.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) \(M=\dfrac{B^2l^2e}{4U}\);  2) \(\Delta M=\dfrac{B^2l\,re}{\sqrt2\,U}\);  3) \(\Delta\varphi\approx\dfrac{r\sqrt2}{l}\);  4) \(\delta M=\dfrac{B^2l^2kT}{4U^2}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1) Траектория заряженной частицы в магнитном поле — окружность радиуса \(R=l/\sqrt2\). За ускорение отвечает сила Лоренца, \(Bev=Mv^2/R\), откуда \(BeR=p\). Подставляя \(p^2=2MUe=B^2e^2R^2\), получаем \[M=\frac{B^2l^2e}{4U}.\]

    2) Теперь радиус может быть \(R\pm r\). Приближённый расчёт даёт \(\Delta R/R=r\sqrt2/l\approx\Delta M/2M\), следовательно, \(\Delta M\approx Mr\,2\sqrt2/l\), то есть \[\Delta M=\frac{B^2l\,re}{\sqrt2\,U}.\]

    3) Ион покидает магнитное поле на расстоянии \(r\) до (или после) того, как проделает четверть окружности. Итак, \(\Delta\varphi\approx r/R=r\sqrt2/l\).

    4) Некоторая начальная энергия \(kT\) означает, что конечная энергия \(Ue+kT=e(U+kT/e)\); это эквивалентно изменению напряжения на \(\delta U=kT/e\). Используя приближённый расчёт и результат первого вопроса, получаем \(\delta M=\dfrac{dM}{dU}\,kT/e\), то есть \[\delta M=\frac{B^2l^2kT}{4U^2}.\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх