Всасывание

Жидкость не течёт, пока потенциальная энергия единицы объёма на её поверхности постоянна. Течение начнётся, когда высшая точка поверхности перестанет быть минимумом потенциальной энергии вдоль вертикали к заряду.

1) \(a=\chi_0=\dfrac12\Bigl(H-\sqrt{H^2-4A}\Bigr)\), где \(A=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho_eq}{\rho_mg}\);  2) \(h=\sqrt{\dfrac{\rho_eq}{\pi\varepsilon_0\rho_mg}}\).

1) Пусть \(x\) — горизонтальная ось, \(y\) — вертикальная. На поверхности жидкости потенциальная энергия единицы объёма постоянна (чтобы жидкость не текла в сторону меньшей потенциальной энергии). Поэтому формула для высоты \(\chi(x)\) поверхности жидкости имеет вид \[\Pi_{vp}=\rho_mg\chi-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_eq}{r}=0,\] где \(r=\sqrt{x^2+(\chi-H)^2}\) — расстояние данной точки от заряда. Обозначим \(\chi_0\equiv\chi(0)\). Из предыдущей формулы (учитывая, что при \(x=0\) имеем \(r=H-\chi_0\)) получаем \[\chi_0(\chi_0-H)+\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho_eq}{\rho_mg}=0 .\] С обозначением \(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\rho_eq}{\rho_mg}=A\) результат можно записать в виде \[\chi_0=\frac12\Bigl(H-\sqrt{H^2-4A}\Bigr).\]

2) Ясно, что течение начинается в точке \(x=0\), где поверхность жидкости самая высокая. Когда течение начинается, эта точка поверхности [с координатами \((0,\chi_0)\)] реализует максимум потенциальной энергии при движении вдоль оси \(y\) к заряду. Итак, функция \[\Pi(y)=\rho_mgy-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_eq}{h-y}\] имеет максимум при \(y=H_0\). Это даёт два уравнения: \[\begin{align*} \rho_mg\chi_0-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_eq}{h-\chi_0}&=0,\\ \rho_mg-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\rho_eq}{(h-\chi_0)^2}&=0 . \end{align*}\]

Сравнивая их, находим \(h=2\chi_0\) и \(\chi_0^2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\rho_eq/\rho_mg\), следовательно, \[h=\sqrt{\frac{\rho_eq}{\pi\varepsilon_0\rho_mg}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.