Частица и полукольцо

Скорость определяется потенциалом, ускорение — напряжённостью. Точка \(B\) лежит на той же окружности, что и полукольцо: вычисляя потенциал и поле от маленького кусочка, найдите, как они связаны.

\(\dfrac{a_A}{a_B}=\dfrac{4n^2}{\pi}\) (для заданной геометрии \(n^2=\dfrac{\pi}{2\ln(1+\sqrt2)}\approx1{,}78\), и отношение ускорений равно \(\dfrac{2}{\ln(1+\sqrt2)}\approx2{,}27\)).

Что происходит. Электрическая сила потенциальна, поэтому скорость частицы, начавшей движение с бесконечности, определяется потенциалом точки: \(v\propto\sqrt{\varphi}\). Ускорение определяется напряжённостью: \(a=|q|E/m\). Значит, надо связать \(E_A\) и \(E_B\) с потенциалами \(\varphi_A\) и \(\varphi_B\) полукольца. В центре \(A\) это легко: все кусочки на одинаковом расстоянии. В точке \(B\) интеграл по полукольцу брать не нужно: \(B\) лежит на той же окружности, и для каждого кусочка потенциал и поле связаны простым геометрическим множителем.

Обозначения. \(R\) — радиус полукольца, \(\lambda\) — линейная плотность заряда, \(Q=\pi R\lambda\), \(q\) — заряд частицы, \(m\) — её масса, \(k=1/(4\pi\varepsilon_0)\). Ось \(x\) направим по \(AB\) от \(A\) к \(B\); точка \(B\) диаметрально противоположна середине полукольца, \(AB=R\). Поле, как и потенциал, на оси симметрии направлено вдоль неё.

1. Связь скорости с потенциалом. Закон сохранения энергии для частицы между бесконечностью (скорость нуль, потенциал нуль) и точкой с потенциалом \(\varphi\): \(\dfrac{mv^2}{2}+q\varphi=0\), то есть \(v^2=\dfrac{2|q|\varphi}{m}\) (\(q\varphi<0\): частица притягивается). Для двух точек \[\frac{v_A^2}{v_B^2}=n^2=\frac{\varphi_A}{\varphi_B}.\]

2. Ускорение и напряжённость. Второй закон Ньютона для частицы в точках \(A\) и \(B\): \(ma=|q|E\), поэтому \[\frac{a_A}{a_B}=\frac{E_A}{E_B}.\]

3. Центр \(A\). Все кусочки полукольца находятся от \(A\) на расстоянии \(R\), поэтому \(\varphi_A=\dfrac{kQ}{R}\). Поле кусочка \(dq\) направлено вдоль радиуса от него; по симметрии остаётся составляющая вдоль оси. Если кусочек виден из \(A\) под углом \(\psi\) к оси (\(-\pi/2\le\psi\le\pi/2\)), то \(dq=\lambda R\,d\psi\) и \[E_A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{k\lambda R\,d\psi}{R^2}\cos\psi=\frac{2k\lambda}{R}=\frac{2kQ}{\pi R^2}=\frac{2\varphi_A}{\pi R}.\]

4. Точка \(B\). Пусть \(C\) — произвольная точка полукольца, \(B'\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(B\). Угол \(BCB'\) прямой (вписанный угол, опирающийся на диаметр), поэтому в прямоугольном треугольнике \(BCB'\) расстояние \(d=BC\) связано с углом \(\theta\) между \(BC\) и осью \(BB'\) равенством \(d=2R\cos\theta\). Кусочек \(dq\) в точке \(C\) создаёт в \(B\) потенциал \(d\varphi=\dfrac{k\,dq}{d}\) и поле \(dE=\dfrac{k\,dq}{d^2}\), а его составляющая вдоль оси \[dE_x=dE\cos\theta=\frac{k\,dq}{d^2}\cdot\frac{d}{2R}=\frac{1}{2R}\cdot\frac{k\,dq}{d}=\frac{d\varphi}{2R}.\]

Составляющие, перпендикулярные оси, у кусочков из верхней и нижней половин полукольца взаимно уничтожаются (симметрия), а осевые складываются. Суммируя по всему полукольцу, \[E_B=\frac{\varphi_B}{2R}.\] Обратите внимание: это свойство верно только для точек самой окружности; для точки внутри неё множитель \(\cos\theta=d/(2R)\) уже не получится.

5. Собираем ответ. Отношение напряжённостей, а с ним и ускорений: \[\frac{a_A}{a_B}=\frac{E_A}{E_B}=\frac{2\varphi_A/(\pi R)}{\varphi_B/(2R)}=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{\varphi_A}{\varphi_B}=\frac{4n^2}{\pi}.\]

Проверка. Для заданной геометрии величины связаны, и это можно проверить прямым вычислением. Потенциал в \(B\): \(\varphi_B=k\lambda\displaystyle\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\dfrac{d\varphi}{2\sin(\varphi/2)}=2k\lambda\ln(1+\sqrt2)\), потенциал в \(A\): \(\varphi_A=\pi k\lambda\). Тогда \(n^2=\dfrac{\pi}{2\ln(1+\sqrt2)}\approx1{,}78\), \(n\approx1{,}33\), а отношение ускорений \(\dfrac{E_A}{E_B}=\dfrac{2k\lambda/R}{\varphi_B/(2R)}=\dfrac{2}{\ln(1+\sqrt2)}\approx2{,}27\); формула \(4n^2/\pi\) даёт то же число. Численное интегрирование (рисунок) подтверждает: \(\varphi_A/k\lambda=3{,}142\), \(\varphi_B/k\lambda=1{,}763\), \(E_AR/k\lambda=2{,}000\), \(E_BR/k\lambda=0{,}881=\varphi_B/(2k\lambda)\).

Ответ. \(\dfrac{a_A}{a_B}=\dfrac{4n^2}{\pi}\approx1{,}27\,n^2\); для условия задачи \(n^2\approx1{,}78\) и \(\dfrac{a_A}{a_B}\approx2{,}27\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.