Машина Ползунова

Работу совершает не пар, а атмосфера: после конденсации под поршнем почти пустота, и воздух давит на него сверху. Чему равна эта работа, если известен объём цилиндра, заполненного паром? Объём выразите через массу пара.

\(M=\dfrac{q\,m_{\text{у}}\,RT}{\mu\,(c\,\Delta t+r)\,g\,h}\approx2\cdot10^{6}\) кг \(=2\cdot10^{3}\) т угля (здесь \(m_{\text{у}}=1000\) кг, \(T=373\) К, \(\Delta t=100\) К, \(\mu=18\) г/моль, \(g=9{,}8\) м/с\(^2\)).

Что происходит. Теплота сгорания угля идёт на получение пара. Пар заполняет цилиндр и поднимает лёгкий поршень почти без нагрузки (холостой ход). Затем пар охлаждают, он конденсируется, давление под поршнем падает почти до нуля, и атмосферное давление опускает поршень. Это и есть рабочий ход: работа атмосферы \(p_0V\) идёт на подъём груза. Главная идея: масса пара находится из баланса теплоты, его объём — из уравнения Менделеева — Клапейрона, а давление \(p_0\) в ответе сократится.

Обозначения. \(m_{\text{у}}=1000\) кг — масса сожжённого угля, \(m_{\text{п}}\) — масса пара, \(\Delta t=100\) К — нагрев воды, \(T=373\) К — температура пара, \(\mu=18\) г/моль — молярная масса воды, \(V\) — объём пара в цилиндре, \(p_0\) — атмосферное давление, \(M\) — масса поднятого угля, \(h=100\) м.

1. Масса пара. Потерь тепла нет, поэтому вся теплота сгорания угля идёт на нагрев воды от \(0\,^\circ\)С до \(100\,^\circ\)С и превращение её в пар (уравнение теплового баланса): \[q\,m_{\text{у}}=c\,m_{\text{п}}\Delta t+r\,m_{\text{п}}\quad\Rightarrow\quad m_{\text{п}}=\frac{q\,m_{\text{у}}}{c\,\Delta t+r}=\frac{3{,}1\cdot10^{10}}{4{,}2\cdot10^{5}+2{,}26\cdot10^{6}}\approx1{,}16\cdot10^{4}\ \text{кг}.\]

2. Объём пара. Поршень лёгкий, поэтому давление пара в цилиндре при подъёме поршня равно атмосферному \(p_0\). Считаем пар идеальным газом и пишем уравнение Менделеева — Клапейрона для всего пара в конце подъёма поршня: \[p_0V=\frac{m_{\text{п}}}{\mu}RT.\] Числа не нужны: нам понадобится только произведение \(p_0V\).

3. Рабочий ход. Пар охладили и сконденсировали, давление насыщенного пара при \(0\,^\circ\)С около \(0{,}6\) кПа — менее процента от \(p_0\), поэтому под поршнем давлением можно пренебречь. На поршень сверху действует сила \(p_0S\), снизу — почти ничего. Поршень проходит путь \(V/S\), и работа атмосферы \[A=p_0S\cdot\frac VS=p_0V=\frac{m_{\text{п}}}{\mu}RT.\] Обратите внимание: полезна только эта работа. Работа пара при холостом ходе \(p_0V\) ушла на подъём поршня и на вытеснение воздуха, и груз при этом не поднимался.

4. Подъём угля. Трения нет, блоки считаем идеальными, а поршень лёгким, поэтому вся работа \(A\) идёт на увеличение потенциальной энергии груза (закон сохранения энергии для системы «поршень + блоки + уголь»): \(A=Mgh\). Отсюда \[M=\frac{A}{gh}=\frac{m_{\text{п}}RT}{\mu gh}=\frac{q\,m_{\text{у}}}{c\,\Delta t+r}\cdot\frac{RT}{\mu gh}.\] Подставляем: \(A=\dfrac{1{,}16\cdot10^{4}}{0{,}018}\cdot8{,}3\cdot373\approx1{,}99\cdot10^{9}\) Дж, \[M=\frac{1{,}99\cdot10^{9}}{9{,}8\cdot100}\approx2{,}0\cdot10^{6}\ \text{кг}.\]

Проверка. Размерность: \([RT/\mu]=\text{Дж/кг}\), умножаем на \(m_{\text{п}}\) — получаем работу. КПД машины \(\eta=\dfrac{A}{q\,m_{\text{у}}}=\dfrac{RT}{\mu(c\,\Delta t+r)}\approx0{,}064\), то есть около \(6\%\). Это меньше КПД идеальной машины, работающей между \(100\,^\circ\)С и \(0\,^\circ\)С, \(1-\dfrac{273}{373}\approx0{,}27\), и не противоречит второму закону термодинамики. Физический смысл: из \(2{,}68\cdot10^{6}\) Дж, потраченных на килограмм пара, механическую работу даёт только \(RT/\mu\approx1{,}7\cdot10^{5}\) Дж, то есть работа расширения этой массы газа при постоянном давлении.

Ответ. \(M=\dfrac{q\,m_{\text{у}}\,RT}{\mu(c\,\Delta t+r)\,gh}\approx2\cdot10^{6}\) кг \(=2\cdot10^{3}\) т, то есть поднято примерно в \(2000\) раз больше угля, чем сожжено.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.