Заряженная полусфера и точечный заряд в центре

Все точки полусферы находятся на одинаковом расстоянии от \(O\), поэтому её потенциал в этой точке находится по полному заряду полусферы. Для второго пункта разложите силы, действующие на элементы поверхности, по направлению вертикали.

1) Потенциал в точке \(O\), создаваемый полусферой, \(\varphi=\dfrac{\sigma\cdot 2\pi R^2}{4\pi\varepsilon_0R}=\dfrac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\). Работа внешней силы \(A=Q\varphi=\dfrac{Q\sigma R}{2\varepsilon_0}\).

2) Сила, действующая на элемент поверхности \(\Delta S\) со стороны заряда \(Q\), равна \(\Delta F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q\sigma\,\Delta S}{R^2}\). Её вертикальная составляющая определяется проекцией площадки на горизонтальную плоскость \(\Delta S_\perp\): \(\Delta F_Y=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q\sigma\,\Delta S_\perp}{R^2}\). Суммируя по основанию полусферы, \(\sum\Delta S_\perp=\pi R^2\): \[F_Y=\sum\Delta F_Y=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q\sigma}{R^2}\cdot\pi R^2=\frac{Q\sigma}{4\varepsilon_0}.\] Тогда полусфера давит на поверхность с силой \(P=mg+\dfrac{Q\sigma}{4\varepsilon_0}\).