Автомобиль по окружности, горизонтальная и наклонная плоскости

На горизонтальной окружности центростремительное ускорение сообщает сила трения, и её предельное значение задаёт максимальную скорость. На наклонной поверхности составляющая силы тяжести вдоль склона направлена против центростремительного ускорения в нижней точке окружности: найдите, в какой точке трения нужно больше всего.

1) Максимальная скорость на горизонтальной окружности: \(m\dfrac{\tilde V_{MAX}^2}{R}=\mu mg\), \(\tilde V_{MAX}=\sqrt{\mu gR}\). Минимальное время четверти окружности: \[T=\frac{\pi R}{2\sqrt{\mu gR}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R}{\mu g}}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{3}{20}}\approx 0{,}61\,\text{с}.\]

2) Перейдём к проекциям на наклонную плоскость: \(m\vec a=\vec F_{тр}+\vec F\), \(F=mg\sin\alpha\), \(F_{тр}\le\mu mg\cos\alpha\), \(\vec F_{тр}=m\vec a-\vec F\). Модуль разности в правой части максимален в нижней точке, где векторы \(m\vec a\) и \(\vec F\) антипараллельны. В этой точке \(m\dfrac{V_{MAX}^2}{R}\le\mu mg\cos\alpha-mg\sin\alpha\), откуда \[V_{MAX}=\sqrt{gR\left(\mu\cos\alpha-\sin\alpha\right)}=\sqrt{10\cdot 1{,}2\left(0{,}8\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\frac{6\,(4\sqrt3-5)}{5}}\approx 1{,}52\ \text{м/с}.\]