Шайба в полусфере на подвижном бруске у стенки

Пока шайба движется по левой половине полусферы, брусок прижат к стенке и неподвижен. Дальше система свободна: используйте законы сохранения импульса и энергии. Скорость бруска максимальна, когда шайба проходит нижнюю точку полусферы.

1) До нижней точки: \(\dfrac{mV_0^2}{2}=mgR\), \(V_0=\sqrt{2gR}\). Далее \(mV_0=(m+M)V_1\), \(\dfrac{m V_0^2}{2}=\dfrac{(m+M)V_1^2}{2}+mgH\). Отсюда \(H=\dfrac{M}{m+M}R\), и из условия \(\dfrac{H}{R}=\dfrac{M}{m+M}=\dfrac23\) получаем \(M=2m\).

2) Законы сохранения импульса и энергии для системы «шайба + брусок» в момент, когда шайба проходит нижнюю точку полусферы:\(mV_0=mV_X+MV\), \(\dfrac{m}{2}V_0^2=\dfrac{m}{2}V_X^2+\dfrac{M}{2}V^2\). Отсюда \[V_{MAX}=\frac{2m}{m+M}V_0=\frac{2}{3}V_0=\frac{2}{3}\sqrt{2gR}.\]

3) В нижней точке в системе бруска шайба движется по окружности радиуса \(R\) с относительной скоростью \(U=V_0\). Второй закон Ньютона в проекции на радиус: \(m\dfrac{U^2}{R}=N-mg\), отсюда \(N=m\left(\dfrac{V_0^2}{R}+g\right)=3mg\). Сила, с которой брусок давит на горизонтальную поверхность, равна \(P=(M+3m)g=5mg\). В этот момент систему бруска можно считать инерциальной.