Пустой мешок

Давление на пол складывается из избыточного давления и веса ткани, приходящегося на единицу площади. Натяжение вдоль профиля меняется так же, как менялась бы механическая энергия при скольжении куска ткани вдоль самой себя.

1) \(c=\dfrac{L}{\frac{p}{\sigma g}+1}\);  2) \(\alpha=\sigma g\);  3) \(T_1=(p+\sigma g)\dfrac a2\);  4) \(\varepsilon\approx\dfrac{\pi g\sigma}{4p}\).

1) Давление на пол \(P=p+\sigma g\), следовательно, \(\sigma Lg=(p+\sigma g)c\), откуда \(c=L\big/\bigl(\frac{p}{\sigma g}+1\bigr)\).

2) Здесь мы приводим решение, отступающее от рекомендаций (нахождение другого решения оставляется читателю). Пусть натяжение материала в некоторой точке контакта с полом \(P_0\) равно \(T_0\). Рассмотрим энергетический баланс куска материала между точками \(P\) и \(P_0\) при крошечном виртуальном смещении \(\delta\), везде касательном к материалу (так что форма материала сохраняется). Изменение потенциальной энергии (на единицу длины мешка) равно \(\sigma\delta gx\) (потому что кусок материала длиной \(\delta\) с пола поднимется на высоту \(x\)); совершённая работа равна \((T-T_0)\delta\). Энергетический баланс даёт \(T=\sigma gx+T_0\), следовательно, \(\alpha=\sigma g\).

3) Баланс сил между левой и правой половинами мешка можно записать в виде \(T_1+T_0=pa\). Учитывая, что \(T_0=T_1-\sigma ga\), находим \[T_1=(p+\sigma g)\,\frac a2 .\]

4) Баланс сил между нижней и верхней половинами мешка: \(2T_2+L_1\sigma g=pb\), где \(T_2\) — натяжение в самой широкой точке, а \(L_1\approx L/2\) — длина верхней половины. Натяжение \(T\) растёт линейно с высотой, а самая широкая точка находится приблизительно на половине высоты; следовательно, \(2T_2\approx T_1+T_0=pa\). Подставляя это в первое уравнение, получаем \(p(b-a)=L\sigma g/2\). Учитывая, что мешок почти круглого поперечного сечения, пишем \(\pi(b+a)\approx 2L\); следовательно, окончательно \[\varepsilon\approx\frac{\pi g\sigma}{4p}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.